抽象函数常见考题和解析

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1、Email:2463451976抽象函数常见考题及解析四川省南充市李渡中学雍兴灵抽象函数在中学数学教材中虽没有单独的章节，但在高考试卷中却常考常新.下面是笔者整理的近年考题中常见的抽象函数问题，供高三复习吋参考.一、求定义域求抽象函数的定义域要注意中间变量的等同性，如在f(g心))，f(g2(x))中，g

2、(x)与g2(Q的值域相同.例1(13.大纲卷•理)已知惭数/(兀)的定义域为(-1,0),则函数/(2兀+1)的定义域为(1A(\A.(—1,1)B.-1,-—C.(—1,0)D.—.1I2丿(2丿解:由己知条件得，一1<2兀+1<0,解得—lv兀v—丄

3、，.••选B.2二、求函数值(域)赋值、迭代是解抽象函数问题的常见方法.例2(0&四川)设定义在/?上的函数/(兀)满足f(x)/(x+2)=13,若/(I)=2,则/(99)=A.13B.213C.—13解:V/(x)./(x+2)=13,A/(x)^0，且/(兀+2)・/(兀+4)=13,・・・/(x+4)=/(x),B

4、Jf(x)是以4为周期的周期函数.1313・・・/(99)=/(3+4x24)=/(3)=——=—.・••选C./(I)2例3(0&陕西)定义在R上的函数/(兀)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2^(x,yeR)ffl2=，则/(一

5、3)等于A.2B.3C.6D.9解：由/(x+y)=/(x)+/(y)+2小得：/(0)=/(0)+/(0)+0,./(0)=0.由/・(0)=/(1)+/(_1)_2得，・・J(_1)=O,・・/(—2)=/(_l)+/(_I)+2=2；・・・/(—3)=/(-2)+/(-1)+4=6.・••选C.说明：①以上两例着重考查抽象函数的性质.②以上两例看似很难，实为抽象函数问题中的常规题型.例4(0&江西.理)若函数y=/(%)的值域是-,3,则函数F(x)=/(兀)+2的值域是10°⑶T1110510a-r->3ib•⑵—1c.r-,—12323解：由-

6、<3得：F(x)=y+->2&且仅当y=l时取“="),AF(x)的最小值为2,・••选B.说明：①本题可用函数y+丄在

7、,1上单调递减，在(1,3］上单调递增求F(x)的值域.②本题最易出错的是：由-

8、)/(2)>/(0)=0>g(0),・・・选D.四、解不等式解与抽象函数有关的不等式，一般要根据其特性作出简图，以帮助探索解题思路.例6(0&全国I卷)设奇函数/(力在(0,+oo)上为增函数，且/(1)=0,则不等式/⑴一"7

9、X)是奇函数得：由于(1)=0得:A.(—1,0)(L+oo)B.(—oo,—l)(04)C.(—00,—1)(1,+qo)V/(%)在(0,+8)上为增函数，•••当兀>0时,/(x)0=/(-1),又条件知/(x)在(—8,0)上也是增函数，•••—lvxvO.・••不等式的解集为(—1,0)(0,1),选项D.说明：本题考查与抽象函数有关的不等式的解法，考查数形结合、分类讨论思想及推理和运算能力.例7(15•全国II卷)设函数ff(x)是奇函数/(x)(xeR)的导函数，/(-1)=0,当兀>0时,xf

10、x)一/(%)<0,贝小使得/(%)>0成立的X的取值范围是D.(0,1)(1,炖)A.(—oo,—l)(0,1)B.(—1,0)(1,4-00)C.(―8,—1)(—1,0)解：令函数F(%)=史型，则F(jv)=丈竺卫卫.Xx~・・・/(x)是奇函数，/(—1)=0,・・・F(x)是偶函数，F(1)=F(—1)=0.•.•当兀〉0时,xfr(x)—f(x)<0,当兀>0吋，F(兀)vO,F(x)在(0,4-oo)上单调递减，在(-00,0)上单调递增.由数形结合易知，使得/(x)>0成立的x的取值范围是(-00-1)(0,1),・・・选A.说明：本题考查

11、导数的应用与抽象函数等知识，考查数形结