河网系统的非线性特性与其分形分析

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1、天津大学硕：{：学位论文第一章绪论1．1分形1．1．1分形第一章绪论1973年，曼德勃罗(B．B．Mandelbrot)在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形(Fractal)一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义i1固，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。．同时，曼德勃罗指出，分形由三个要素组成，即形状、机遇、维数【3'4】。这里的维数可以是整数

2、，也可以是分数。从特征尺度的角度可以对分形做以下的描述：自然界的形体和人们考虑的各种图形大体可以分成两类：一类具有特征尺度，另一类是不具有特征尺度的。对于有特征尺度的形体，比如具体形体而言：圆和球体的特征尺度是它的直径或半径，而正方形或长方形的特征尺度则是它们的边长；人体的特征尺度既可以是入的身高，也可以是人的手长等等。也就是说，具有特征尺度的形体我们可以用适当的尺度去测量。日本学者高安秀树认为具有特征尺度的形体具有以下的特征：其一，只要保持特征尺度不变，对这些物体稍作简化，其性质不会有太大变化。其二，在测量这些物体的过程中，可以采用不同的测量尺度，而在允许的误差范围内，

3、测量的结果应该是一致的搿。同时，自然界中还存在许多的没有特征的形体。例如，当从天空向下看海岸线会发现，虽然高度不同看到的海岸线的轮廓相似，但海岸线的曲折性和复杂性不同。同样的道理，我们会发现海岸线长度精确测量的困难。曼德勃罗在1967年发表的关于海岸线的文章中，得出英国海岸线不确定的结论【6】。当1982年曼德勃罗的《自然界中的分形几何》一书出版之后，分形的概念就确立了起来。从此，分形为物体组织形态的描述提供了一种极其简洁的方法【71。1．1．2分形的意义Mandelbrot在他的早期的论文中，定义了分形是满足Hausdorff维数严格大天津大学硕士学位论文第一章绪论于拓

4、扑维数的集合。但是这个定义由于不包括一些显然该被认为是分形的集合而不能令人满意。人们提出另外的一些定义都有类似的缺点。所以到目前为止，对分形并没有公认的严格的定义。只是将分形集看作具有如下性质的集合【8f9】：(1)，具有精细结构，即在任意小比例尺度内包含整体。(2)无论从局部和整体上看，，是如此不规则以至于不能用传统的几何语言来表述。(3)通常F具有某些自相似性，或是统计意义下的拟自相似集，或是自仿射集。(4)通常分形集F的“分形维数”比它的拓扑维数要大。(5)在许多情况下，，的定义是非常简单的，或许是递归的，其形体却相对复杂。对典型意义的分形体分析可知：分形的结构有内

5、在的几何规律，即比例的自相似性。大多数分形体在一定标度范围内是不变的。也就是说，在这个范围内，无论放大整体的任何一部分，其不规则程度都是一样的，这就是比例性；按照统计的观点，几乎所有的分形又是置换不变的，即它的每一部分移位、旋转、缩放等统计的意义下与其它任意部分相似，即在不规则中存在规则。它同时也暗示了自然界中一切形状及现象都能以较小或部分的细节反映出整体的不规则性。在欧氏几何中，有些基本元素(例如，点、线、圆等)在某种意义上，只有当它们结合起来才构成了复杂物体也才具有实际意义。但在分形几何中，它们的最基本元素却不能被直接观察到，应该说分形首先是一种几何语言，它是由算法和

6、数学程序集而不是什么原始形态来描述的，这些算法借助于一台计算机而被转换成一些几何形状。所以说古典几何和微积分方法不适合于分形的研究，必须用其它方法。在这里，分形的主要工具是它的形式众多的维数。零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空、以及其它的分维数都可以用相似维数、Hausdorff维数和盒数计维数。简单的说，维数表示一个几何占有多大空间。当用很小的尺度观察一个不规则集时所得到的是测度。1．1．3分维数传统的理论认为：维数是刻画图形占领空间规模和整体复杂的量度，是图形最基本的不变量。早在两千多年以前，欧几里德就给出图形维数的描述【101：“曲面有两个量度

7、，曲线有一个量度，点连一个量度也没有。”这里的量度即欧几里德维数。后来就将其定义为描述空间中的一点的位置所需要的独立坐标数目或连续参数的最小数目。天津大学硕士学位论文第一章绪论随着拓扑学的诞生，拓扑空间的分类问题变得十分的重要。形成了用连续满映射来分类的方法。但皮尔洛曲线的提出又一次使人们感到意外，因为人们根本不能用上述方法求其维数。分形维数是定量描述分形的基本参量，它是标度变换下的不变量。欧氏空间的几何维数是整数值，而分形的维数是分数值[1l,12】。由于分形集的复杂性，对不同的测量对象需要不同的测量方法，因此引进不同定义的