圆弧曲线的有理五次bézier表示与代数曲线胀开采样方法

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1、同等学历硕士学位论文(8)R(江o，l，2，3)四点共面；(6)(凡R1，‰飓)=(R2兄3，飓‰)=p；(c)4(z—z1cos口)(f—f3cosp)=flj3；其中f=盥乒，如=II风一l忍II(i=1，2，3)；Lemma2．当p≠≯时有理四次B色zier曲线构成以2口(o

2、08p)工1￡2L3=f2fisin(p一咖)L；；(9)j22isin(p一咖)(f—f1cosp)工1=f}(j—f4cos口)L2三4；其中，L1=21(2lsin口+z2sin砂)一22sin(p一曲)(2—21cosp)；三2=2(z—z1cosp)sin口一f2sin(一十咖)；工3=zlz4—2(f—flcosp)(z—f4cos口)；L4=工3sinp+f224sin咖+22sin(p+咖)(z—f4cos9)；正如我们在摘要所提到的，有理二次，三次或四次B色zier曲线来表示圆弧都是有局限性，即就是不能表示整圆，在第二节我们给出的有理五次B∈zier就能解决这个问题．2一天√

3、蛊羔葶㈣㈤攀枷丑～豆一豆一●～^k圆弧曲线的有理五次B∈zier表示及代数曲线胀开采样方法§1．2有理五次B百zier曲线表示圆心角小于27r的任意圆弧的充要条件在平面坐标系中有理五次B色zier曲线为：5R(t)=(x(￡)，y(￡))=(x(￡)／u(￡)，y(￡)／u(￡))=∑霹毗昆／∑辟(z)咄t=0i=0其中，忍，咄，霹(i=1，2，3，4，5)分别表示控制顶点，权因子及Berstein基。令I凰冗5l=2f，I‰冗1l=圳R1R2l=f2I

4、飓R3J=蚓飓凡I=f47IR4兄5I=f5，(‰R1，凰R5)=(R5R4，R5‰)=p(o

5、飓，R5凡)=咖。，由于有理五次B∈zier睦线具有几何不变性和仿射不变性，不妨建立如图1．1所示的坐标系，则R(汪o，1，⋯，5)各点的坐标分别表示为：‰(一Z，fcotp)，R1(一f+f1cosp，fcotp+f1sin口)，R2(一f+j1cos口+?2cos咖1，fcotp+f1sinp+f2sin≯1)，飓(?一f5cosp—f4cos如，fcot日+j5sinp+f4sin枕)，R4(j一21cosp，fcot目+f5sinp)，R}(f，2cot口)．Theorem1．当口≠咖l上王p≠西2时，有理五次B∈zier曲线构成以2p(0

6、，以fcscp为半径的圆弧曲线当且仅当以下条件同时成立：(n)昆(扛o，1，⋯，5)六点共面；(6)(‰R1，凰凰)=(R5R4，R5Ro)=p，(R2R3，R1‰)=≯l，(R3凰，‰飓)=≯2；(c)基=毪辫笋；(d)羔=d‰；(e)蕞=d龋；(，)蕞=掣器≯；髟、＼产R。＼／／&。一0X图1．1：有理五次Bgzier曲线能表示任意一段圆弧(夕)4ⅣL3(2一f5cosp)=f；f2L1工lsin秽(L3+L4)+2；f2￡l工2L3^如sin(p一曲1)；3同等学历硕士学位论文(^)4Ⅳ工6(z—flc08p)=f}f；L；L2sinp(工5+三6)+f}f4L1L2工6尬sin(p一屯

7、)；(i)2Ⅳ三3L6=ⅣLlL2』协+f}f；L}三；sinp^矗．这里三1=2Zsin汐一221sinpcos口一z2sin(p+≯I)，￡2=2Zsinp一2f5sinpcosp—f4sin(口+≯2)，￡3=f}sinp+f112sinpcos(p一≯1)一zf2sin(9一≯1)，L4=2；sinp+f122sin口cos(伊一≯1)一ff2sin(9一≯1)，L5=fisinp+“25sinpcos(p一如)一zf4sin(p一枕)，三6=嗜sin一十?4f5sin秒∞s(护一九)一zz4sin(秒一咖)，^以=【22f5cosp—zlf5cos26I—z225cos(p+≯1)l

8、sin疗一f己l，』吃=f2fzlcosp—jlz5cos2p—f1z4cos(p+也)】sin9一z工2，』愧=2朋1cosp+2ZZ5cosl9一Z125cos2p一2∥，』l如=^矗+』忱一^如siIlp—f224sinpcos(妒l+屯)，Ⅳ=422e4L3三6sin(秽一西1)sin(秽一咖2)．Proof．R(t)表示圆弧的充要条件是必须满足将％玑代入展开，合并同类项，利用Bernst