混合空间标准b-基的存在性证明和它的一种求法

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1、注：对区间的唯一一约束是区间长度小于厅，如果区间不关于原点对称，平移一下就可以了。用这个基表示的曲线，多少克服了有理曲线的一些不足，但还存在以下两个缺点：a1不能直接表示直线。b)不能直接表示螺旋线，旋轮线等曲线。为了弥补上面几种基表示的曲线的不足，这就引出了对空间：span{1，t，⋯，f。，cos(t)，sin(t)，⋯，cos(kt)，sin(kt)}的研究。在文献Pottmann，Wagner[1994】中，空间span{l，，，cos(t)，sin(t)}作为推广Chebyshev空间的一个例子得到了考察；在文献Zhang[1996，19

2、97]中对空间span{I，t，cos(t)，sin(t))进行了详细研究：(1)给出了几组基，其中有两组基所表示的曲线分别称为c．B6zier曲线和C—B一样条曲线，因为这两组基类似于Bemstein基和B一样条。(2)给出了C．B6zier曲线和C．B．样条曲线的许多性质，如：基的非负性，对一的分解性，0、1、2阶保型性，对称性，几何不变性，凸包性和当区间长度趋向于零时，C．B6zier曲线趋向于对应B6zier曲线，C—B一样条曲线趋向于对应均匀B．样条曲线。(3)细分算法。(4)圆弧和椭圆弧的表示方法。文献E．Mainar[2001]在给出

3、一种求一类空间的B-基的方法后，再利用该方法求出了空间span(1，f，cos(t)，sin(t)j，span{1，t，cos(t)，sin(t)，cos(2t)，sin(2t)}，span{1，f，，2，cos(t)，sin(t)}和空间span{1，r，cos(t)，sin(t)，tcos(t)，tsin(t)}的标准B．基，后两文作者称用空间span{1，f，cos(t)，sin(t))上的标准B一基表示曲线为：c-曲线，本文用这个名称表示用空间span{1，f，⋯，tlcos(t)，sin(t)，⋯，cos(kt)，sin(kt)}的标准B

4、一基(它的存在性证明见下一章)表示的曲线，且称这个空间为混合空间。问题：混合空间存在标准B一基吗?如果存在，怎样表示?1．3本文简介第二章，混合空间标准B．基存在性证明。首先证明了一个引理，即：设U是n+l维的c(“1([卉，6】)空间且对任意，=k6】c[二，6)能够找到中U的函数系(“。一，“。，)满足下列四个条件：(1)“y’(口)=0，／=0，··，i一1(2)“：’(口)>0(3)“y’(6)=o，／=0，⋯，，z—i一1(4)“j”。’(6)≠0其中i：0，．．，月，那么u(D是推广的Chebysheb空间(定义见2．1)，(‰，，⋯，

5、L／“)是Ur，J的～个B一基。然后给出定理：如果t“O，口]，0

6、(s)ds’(口)f=0，⋯，W+，一1，则口州，(f)，j=0，⋯，n+，是混合空间的一个B一基。再利用该B。基的性质求出标准B一基。然后运用这个算法求出几个简单空间的标准B-基，画出图形，作为本文的例子。第四章，给出了C-曲线的几个性质，如：端点插值性，边界相切性和当区间长度趋同于零时C一曲线的性质。第五章，本文指出了一些有待继续探讨的问题。最后是致谢以反参考文献。第二章混合空间标准B．基存在性的证明本章先给出本文所需要的定义和引理．然后论证混合空间标准B-基的存在性。2．1定义年口弓{理E定义2I设{“心))：。，r∈，cR，是线性独立的函数

7、系，且“，(，)∈Cm(，)对，中m+1个点f。≤．．≤，。，(，。，⋯，，。)=(r。，·，『o，⋯，f“，⋯，q)，其中“<⋯0“∥’(乃)J那么称该函数系是推广的Chebyshev系，由它张成的空间称为推广的Chebyshev空间。定义2．2设urx，：r“，rx，，．，“。fx∥7，“；O)∈c“(，)，则Urx，在点x。的I阶切触平面是指满足条件：(c，U。一’r勤J>=D，(c，Um～而)>≠D，j=o，⋯，k，的超平面，其中c=(q，·，Cm)

8、≠o，一般记为：Osc女U(xuj。定义2．3i荧span(1，“，rU⋯，“。一∥是区间，上的m+l维推广的Chebys