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1、高中数学课堂教学中生成性资源开发课例［摘要］利用已有高中数学课堂的教学资源，开发具有生成性的教学资源的教学课例.［关键词］生成性教学资源周期性在人教A版必修四《1.1任意角和弧度制》的课后练习题中有一道考察周期性的习题，经过改编成为了很好的生成性教学资源。一、提出问题一位同学2004年3月21日过生日，这天正好是星期天,那么2005年3月21日这天能否是星期天？如果不是，那么还要经过多少年，这一年的3月21日（他的生日）又会星期天呢？现在给出任意一年的任意一个日期，经过多少年这一日期与原日期的星期重合？这个问题提出后，很多同学立刻给出了第
2、一个问题“不是”的答案，因为2004年3月21日到2005年3月21日要经过365天，365被7除等于52余1,所以一年后的3月21日不是星期天。第二个问题在第一个问题解决后，有的同学不假思索的回答是7年，而有的同学在认真思考、论证后回答是6年，显然后一个答案是正确的，前一个答案没有考虑每四年中有一个闰年，这一年有366天。两个问题解决完，同学们都有些意犹未尽的感觉，第三个问题经过分组讨论，答案集中在5年、6年、11年三个结果中，同学们各有各的理由，但哪一个是正确的呢？二、分析问题答案为5年的同学，所选日期都在闰年前一年的3月1日到闰年的
3、2月28日这一时间段，在此时间段的日期到下一年同一日期间隔366天，接着间隔3个365天和一个366天，这些天数加在一起正好是7的整数倍。间隔天数为366、365、365、365、366,可把它们看作整年，对应的年份记为闰-平-平-平-闰。答案为6年的同学，所选日期都在闰年的3月1日到下一个平年的2月28日，或是从下一个平年的3月1日到第二个平年的2月28日这两个时间段。间隔天数对应的年份记为平-平-平-闰-平-平或平-平-闰-平-平-平。答案为11年的同学，所选日期都在闰年后的第二个平年的3月1日到第三个平年的2月28日。间隔天数对应的
4、年份记为平-闰-平-平-平-闰-平-平-平-闰-平。原来这三个答案都正确，用数学的语言对此进行解释，实际就是一个数学建模过程。三、解决问题1•建立模型这三个问题可抽象为一个求解不定方程的数学问题，设经过m个闰年，n个平年后，两个相同的日期如果星期也一致，那么它们间隔天数之和一定是7的整数倍，即求解366m+365n二7x0关于m、n、x0的整数解的不定方程。2•模型化简因为366除以7等于52余2,365除以7等于52余1,根据同余原理原不定方程366m+365n=7x0可简化为加+n二7y0的形式，其中m、n、y0是所要求的正整数解。3
5、•模型假设设闰年为第N1类年，闰年后的第二年为第N2类年，闰年后的第三年为第N3类年，闰年后的第四年为第N4类年;再设N1类年的3月1日到其下一年的2月28日为Ml区间,第N2类年的3月1日到其下一年的2月28日为M2区间，第N3类年的3月1日到其下一年的2月28日为M3区间,第N4类年的3月1日到其下一个闰年的2月28日为M4区间。这样除了2月29日这一特殊日期，任一年的任一天的日期都会找到相对应的区间。4•模型求解根据模型的化简，只要考虑每两年间同一日期间隔天数被7整除的余数，当余数的和等于7的整数倍时，就可以求得相应的解。例如：第M
6、l区间内的日期到其后相同日期，每两年间隔天数被7整除所得余数对应的数列为1,1,1,2,1,1,1,2,…，前六项的和等于7,则在第Ml区间的日期最少要经过六年，星期会与原日期对应的星期相一致，此时不定方程2m+n=7y0的解为m=l,n=5,yO=l；第M2区间内的讨论的结果和Ml区间内的相同；第M3区间内的日期到其后相同日期，每两年间隔天数被7整除所得余数对应的数列为1,2,1,1,1,2,1,1,…，前~一项的和等于14,则在第M3区间的日期最少要经过十一年后，星期会与原日期对应的星期相一致，此时不定方程2m+n=7y0的解为m=3
7、,n=8,y0=2；第M4区间内的日期到其后相同日期，每两年间隔天数被7整除所得余数对应的数列为2,1,1,1,2,1,1,1,…，前五项的和为7,则在第M4区间的日期最少要经过五年后，星期会与原日期对应的星期相一致，此时不定方程2m+n=7y0的解为m=2,n=3,yO=l；2月29日到下一个2月29日经过四年，经过的天数被7整除余5,是5的倍数且能被7整除的最小正整数是35,也就是要经过7个四年后星期相一致，此时不定方程2m+n=7y0的解为m=7,n=21,y0=5o给出任意一个日期，首先判断是属于哪个区间的，如果在第Ml、M2区间
8、，最少经过六年，星期相同；如果在第M3区间，最少经过十一年，星期相同；如果在第M4区间，最少经过五年，星期相同；如果日期是2月29日，最少经过二十八年，星期相同。5.模型检验模型求解的关键是如
