波动数值模拟方法探究综述

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1、波动数值模拟方法探究综述摘要：文章介绍了波动数值模拟的传统方法，空间有限元法，并对主要研究方向做了探讨。接着总结了近些年波动数值模拟的新方法以及新进展，时空有限元法、微分求积法，这些都是代表了波动数值模拟方法的未来趋势。文中介绍的方法在处理方法上各有优势，也各有劣势，面对不同的问题需要找到合适的方法去解决。关键字：内域；数值计算；有限元中图分类号：TU315.31.引言虽然目前技术和计算设备发展十分迅速，计算能力不断提高，一些大型通用有限元软件已经具备十分强大的分析功能，它解决了地震反应的许多实际工程结构分析的问题。但对于一些大型复杂体系而言，空间离

2、散的自由度数目非常庞大，数值稳定性的限制要求时间离散的步距也不能过大。这样，开展结构地震反应分析时所需要完成的时空四维数值计算的工作量将变的很大。在工程设计中，需要分析各种工况下结构的地震反应行为，对比不同的设计方案并做出优化决策，从而要求在设计期内多次完成结构的地震反应计算。在数值精度的基础上，保证系统的稳定和提高结构地震反应分析方法的核心计算效率。研究高效率的大型复杂体系地震反应数值分析方法，减少计算费用仍然是非常现实的考虑，它具有重要理论意义和实用价值。地震反应分析的数学物理模型就是波动方程。波动数值模拟包含两个部分，一是对人工边界的数值模拟，

3、二是对内域的数值模拟。这里仅讨论对内域的运动节点的数值模拟问题。现有的内域波动的数值模拟方法，按能量等效式，可划分为三类。一类是空间有限元方法。所谓空间有限元方法是指的空间用有限元法进行离散，而使用一个直接的方式离散时间。第二类是时空有限元方法。这里是指对时间使用和对空间一样的有限元法方式离散。时空有限元的时空域是空间有限元的空间域在时间域上增加了一个时间维度，区别只是处理时间域的先后上，空间有限元是先处理空间问题，然后处理时间问题，而时空有限元是同时处理时间和空间的问题。第三类是微分求积方法，是直接的方式对空间和时间的离散。下面分别阐述这三类方法的

4、应用发展过程2•空间有限元方法在1956年，有限元的概念首次被Turner等人提出，最早应用于弹性力学平面应力问题上。1963年，Besseling.Melosh和Jones等人发现有限元法和基于变分原理的里兹法是等效的。有限元法在处理连续介质问题上比普通里兹法更有优势。随后几十年，在解决复杂工程问题上，有限元法得到广泛的应用。波动方程是时空耦合的，基于广义Ham订ton原理的波动有限元方法通常也是时空解耦的数值过程。传统有限元方法的离散过程通常包含两步，先进行空间离散，将微分方程转化为常微分方程，然后对时间进行离散，即在时域对常微分方程进行数值积分

5、。由于时空耦合的数值过程包含过多的自由度，求解这类方程在实际工程中很难实现，建立时空解耦的波动数值分析方法是这方面重要的工作。最直接的做法是实现空间及时间域的解耦，通常是只建立空间的有限元离散方法，而时间采用直接的假设，最常用的是采用逐步积分的方式进行离散。逐步积分法简单来讲就是把最终速度和位移由它们的初始值和一个积分表达式来表示。加速度历程的积分决定速度的变化，速度的积分决定位移的变化。换句话说，加速度控制了速度的变化，因而可以由这一步向前获得下一时间步。解答这类问题，第一步先考虑时间步内的加速度问题，假设加速度是如何变化的，依据加速度和位移的关系

6、，得到关于时间步的递推公式。所谓的Euler-Gauss法就是假设在时间间隔内加速度为常数。而Newmark[1]法是加入系数从而可以改变初始和最终加速度的权重从而得到加速度的一种方法。W订son-[2]方法是假定在时间步距内加速度为线性加速度的一种数值方法，用内插公式得到体系在下一刻的运动。a方法[3]是在Newmark方法的基础上，通过修改结构动力方程的时间离散形式得到的。Chung和Hulbert发展了一种无条件稳定的隐式广义a法，它由三个参数控制数值损耗。Runge-Kutta[4,5]方法是在一个时间步距中内插若干计算点，利用这些计算点上函

7、数值线性组合来代替函数的泰勒展开中的高阶导数，从而提高精度阶。不同于两步信息预测，线性多步法[6]发展了多步信息来预测下一步，从而获得了更高的精度。逐步积分是最主要的时域积分方法，而它最常规的做法是差分法。时域有限差分法(FiniteDifferenceMethod,简称FDM),是地震波传播模拟最广泛被使用的一类方法[kelly—Marfurt,1990][7-10]o有限元差分是将微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将微分方程转化为代数形式的差分方程。由微商和差商的定义可以知道，微分的有限形式是差分，而导数的有限形式是差商。而微分和导数是以极

8、限形式表示。数值计算方法导数可以用差商的自变量趋近于零来代替，换句话说，位移对时间的求导可以用有限差分的方式