有关动点线段及最小值问题

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1、有关动点线段及最小值问题摘要：文章先从初中数学中常见的两种基本类型入手，然后引申变形出各种不同的形式，针对每种形式通过对称变换将与动点有关的折线段化折为直，最后回归到两种常见的基本类型上去求解问题。关键词：动点；对称点；化折为直；垂线段中图分类号:G634文献标识码：A文章编号:1009-2374(2012)30-0135-041概述由动点产生的线段和最小值问题，是中学数学中常见的问题之一，这类问题在现实生活中具有实际意义，形式变化多样，做法灵活。针对此类问题，具体方法大致分为两种：一是几何的方法，通过化归思想，将复杂变化的问题转化为我们熟悉的已知的简单

2、问题，也即通过一系列几何变换将各条线段转化到同一条直线上，运用两点之间线段最短或垂线段最短求解，主要手段是化折为直；二是代数的方法，根据已知题意，建立坐标系或者引入变量将各条线段表示出来再将其相加就得到一个一元函数，通过求函数的最小值就求解问题，主要手段是建立函数模型。这两种方法各有优点，可配合使用，第一种方法简单易行，但技巧性强，特别是化折为直的方法要求具有一定的几何思维能力。第二种方法略显繁琐，特别是当所求线段为多条时，确定的函数模型形式复杂，导致函数最值不易求得，然而其不需要太强的技巧能力,对某些毫无思路的问题使用较多。介于篇幅，本文只对该问题用几

3、何方法加以研究。2类型一：两点在直线异侧如图1,点C和点D是直线AB异侧的两点，求AB上一点P,使得PC+PD的和最小。因为连结两点的所有曲线，折线和线段中只有直线段是最短的，所以直接连结CD,与直线AB的交点即为所求的点Po此类型中可以不止AB一条直线,只要C,D在各条直线异侧即可，那么此时连结CD与各条直线的交点就是满足要求的各个动点。类型一是我们熟悉的已知的简单问题了，因此这道题我们只需将其转化为上面的类型一即可。作C点关于直线AB的对称点C',连结C‘D与直线AB的交点即为所求的点P。这是一道典型的化折为直的题目，把线段PC转化到与PD在同一条直

4、线上，运用两点之间线段最短即可确定P的位置。类型二是类型一的简单引申，类型一才是此类问题的最基本原型。我们将类型二做简单的引申就得到了以下几种有关动点线段和的最小值问题。解析：此题有很大的陷阱，大多数粗心的学生容易犯以下错误：要使PE+PQ最小，只要PE最小，再使PQ最小，自然它们的和也最小，根据垂线段最短，所以先过点E作FD的垂线垂足为P,再过点P作BD的垂线垂足为Q,这样分别求出PE和PQ的长度再相加即可，如图8所示。这是大部分学生易犯的错误，这是因为忽略了PE和PQ的相关性，并不能用它们的最短长度的简单叠加，只有它们相互独立的时候才能叠加求最小和，

5、正如高等数学里所说的无穷多个无穷小量的和并不一定是无穷小量。针对此题，因为点P所在的线段FD夹在E所在线段AD和Q所在线段BD之间，所以点E与BD上任一点（D除外）连线必与FD相交，因此很明显过点E作BD的垂线垂足即为满足要求的Q,与FD的交点即为所求的Po解析：很明显要求四边形APQE的最小周长，因为点E为CD的中点，所以AE和PQ是确定的，所以只需使得AP+QE最小即可，很自然的方法是用代数的方法设QC或者BP为未知量，建立函数模型，然后求最小值即可，然本文介于篇幅只对几何方法作探讨，代数方法暂且不做论述。此题和例3有所不同，此题中的P,Q两点虽都是

6、在线段BC上运动的动点，但是AP和QE是不连接的线段，且PQ为定长，这是与前面所讨论的情况所不一样的。我们做此类题的手段主要是化折为直，往类型一或者类型二上转化，因此我们作E点关于C的对称点E',将同侧的点化为异侧，为化直做准备，假定Q为定点，连结E'Q,再过E'作E'F//PQ且从上面可以看出，有关动点的线段和最小值问题几乎都是类型一或者类型二的引申变形，所用的依据是垂线段最短或者两点之间线段最短。在平时的学习中，要认清类型一和类型二的拓展变形，虽然形式变了，但万变不离其宗，最基本的原形还是类型一，遇到此种问题时要把握化折为直的思想，尽可能的往类型一或

7、者类型二上转化，具体的方法是对称变换，通过对称变换达到化直的目的。此种问题形式千变万化，在平时的学习中我们要学会以不变应万变，在熟练中悟出解题技巧。（责任编辑：叶小坚）