天津中考数学压轴题解析

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1、2008年—2013年天津中考压轴题解析1.(2013·天津)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：(Ⅰ)求y1与x之间的函数关系式；(Ⅱ)若经过点T(0，t)作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P(x，y2)．(1)求y2与x之间的函数关系式；(2)当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围．x…–103…y1=ax2+bx+c…00…ABCOTLPQMlxyl

2、′解：(Ⅰ)∵抛物线经过点(0，)，∴c=．∴y1=ax2+bx+，∵点(–1，0)、(3，0)在抛物线y1=ax2+bx+上，∴，解得，∴y1与x之间的函数关系式为：y1=–x2+x+；(II)∵y1=–x2+x+，∴y1=–(x–1)2+3，∴直线l为x=1，顶点M(1，3)．①由题意得，t≠3，如图，记直线l与直线l′交于点C(1，t)，当点A与点C不重合时，∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，∴四边形ANMP为菱形，∴PA∥l，又∵点P(x，y2)，∴点A(x，t)(x≠1)，∴PM=PA=

3、y2–t

4、，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q(

5、1，y2)，∴QM=

6、y2–3

7、，PQ=AC=

8、x–1

9、，在Rt△PQM中，第14页共14页∵PM2=QM2+PQ2，即(y2–t)2=(y2–3)2+(x–1)2，整理得，y2=(x–1)2+，ABCOTLPQMlxyl′即y2=x2–x+，∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，∴P(1，)，∴P点坐标也满足上式，∴y2与x之间的函数关系式为y2=x2–x+(t≠3)；②根据题意，借助函数图象：ABCOTLPQMlxyl′当抛物线y2开口方向向上时，6–2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M(1，3)，抛物线y2的顶点(1，)，∵3＞，∴不

10、合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6–2t＜0，即t＞3时，y1–y2=–(x–1)2+3–[(x–1)2+]=(x–1)2+，若3t–11≠0，要使y1＜y2恒成立，只要抛物线y=(x–1)2+开口方向向下，且顶点(1，)在x轴下方，∵3–t＜0，只要3t–11＞0，解得t＞，符合题意；若3t–11=0，y1–y2=–＜0，即t=也符合题意．综上，可以使y1＜y2恒成立的t的取值范围是t≥．2.(2012·天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(0＜2a＜b)的顶点为P(x0，y0)，点A(1，yA)、B(0，yB)、C(－1，yC)在该抛物

11、线上．(Ⅰ)当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P的坐标；②求的值；(Ⅱ)当y0≥0恒成立时，求的最小值．第14页共14页解：(Ⅰ)若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10.①∵y=x2+4x+10=(x+2)2+6，∴抛物线的顶点坐标为P(－2，6).②∵点A(1，yA)、B(0，yB)、C(－1，yC)在抛物线y=x2+4x+10上，∴yA=15，yB=10，yC=7.∴.(Ⅱ)由0＜2a＜b，得.由题意，如图过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1.连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=

12、yB－yC，CD=1.过点A作AF∥BC，交抛物线于点E(x1，yE)，交x轴于点F(x2，0).则∠FAA1=∠CBD.∴Rt△AFA1∽Rt△BCD.∴，即.过点E作EG⊥AA1于点G，易得△AEG∽△BCD.∴，即=1–x1.∵点A(1，yA)、B(0，yB)、C(－1，yC)、E(x1，yE)在抛物线y=ax2+bx+c上，∴yA=a+b+c，yB=c，yC=a－b+c，yE=ax12+bx1+c，∴，化简，得x12＋x1－2=0，解得x1=－2(x1=1舍去).∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜－1.则1－x2≥1－x1，即1

13、－x2≥3.∴的最小值为3.解法2：(Ⅱ)解：设m＞0，由于b＞2a＞0，令b=2a+m当y0≥0恒成立时，应有b2–4ac≤0∴(2a+m)2–4ac≤0∵a＞0∴c≥=–2m+2m=+2m第14页共14页∵≥0∴c≥2m∵点A(1,yA)、B(0,yB)、C(–1,yC)在抛物线y=ax2+bx+c上∴yA=a+b+c,yB=c,yC=a–b+c∴==代入b=2a+m,得===∵c≥2m,∴=≥=3∴的最小值为3解法3：A(1,a+b+c)、B(0,c)、C(–1,a–b+c)由B(0,c)、C(–1,a–b+c)得直线BC为y=(b–a)

14、x+c∵AE∥BC∴设直线AE为y=(b–a)x+m将A(1,a+b+c)代入上式，得m=2a+c.∴直线AE为y=(b–a)x+2a+c由得x2+x