江苏省常州市2018届高三第一学期期末检测数学试卷

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1、江苏省常州市2018届高三第一学期期末检测数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．若集合，则集合▲．（第5题）结束开始输出2．命题“”是▲命题（选填“真”或“假”）．3．若复数满足，则▲．4．若一组样本数据2015，2017，x，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为▲．5．右图是一个算法的流程图，则输出的的值是▲．6．函数的定义域记作集合．随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数），记骰子向上的点数为，则事件“”的概率为▲．7．已知圆锥的高为6，体积为8．用平行于圆锥底面的平面截

2、圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为▲．8．各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为▲．9．在平面直角坐标系中，设直线与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率的取值范围是▲．1-1（第12题）10．已知实数满足则的取值范围是▲．11．已知函数，其中．若过原点且斜率为的直线与曲线相切，则的值为▲．12．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴的交点满足，则▲．13．在中，，为内一点（含边界），若满足，则的取值范围为▲．1214．已知中，，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出

3、文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知中，分别为三个内角的对边，．（1）求角；（2）若，求的值．16．（本小题满分14分）（第16题）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，点是棱上异于P，C的一点．（1）求证：；（2）过点和的平面截四棱锥得到截面（点在棱上），求证：．1217．（本小题满分14分）已知小明（如图中AB所示）身高1.8米，路灯OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O．点光源从M发出，小明在地面上的影子记作．（1）小明沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求扫过的图形面积；（2）若米，小明从A出发，以1米/秒的速度沿线

4、段走到，，且米．秒时，小明在地面上的影子长度记为（单位：米），求的表达式与最小值．（第17题）18．（本小题满分16分）xy（第18题）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，点是椭圆的左顶点，过原点的直线与椭圆交于两点（在第三象限），与椭圆的右准线交于点．已知，且．（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆的标准方程．1219．（本小题满分16分）已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且满足（其中为常数），．数列满足．（1）证明数列是等差数列，并求出的通项公式；（2）若无穷等比数列满足：对任意的，数列中总存在两个不同的项，（），使得，求的公比．20．（本小题满分16分）已知函数，其中

5、为常数．（1）若，求函数的极值；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（3）若，设函数在上的极值点为，求证：．12数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（选修4—1）A．选修4—1：几何证明选讲在中，N是边AC上一点，且，AB与的外接圆相切，求的值．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵不存在逆矩阵，求：（1）实数a的值；（2）矩阵的特征向量．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的参数方程为（

6、为参数），直线l的极坐标方程为，直线l与曲线C交于M，N两点，求MN的长．D．选修4—5：不等式选讲已知，求证：．12【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知正四棱锥的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量的值：若这两条棱所在的直线相交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；若这两条棱所在的直线平行，则；若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．（1）求的值；（2）求随机变量的分布列及数学期望．2

7、3．（本小题满分10分）记（且）的展开式中含项的系数为，含项的系数为．（1）求；（2）若，对成立，求实数的值；（3）对（2）中的实数，用数学归纳法证明：对任意且，都成立．12数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．2．真3．14．25．76．7．38．9．10．11．12．13．14．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）由正弦定理得，中，，所以，所以，，