高二理科数学《2.4.1抛物线及其标准方程(一)》

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1、2.4.1抛物线及其标准方程（一）教学目标：抛物线的定义；抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线.重点难点教学重点：抛物线的定义及焦点与准线；抛物线的四种标准方程形式以及p的意义.教学难点：抛物线的四种图形及标准方程的推导；抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用.教学设计：一．复习引入问题1：我们知道，与一个定点的距离和一条直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？二．讲授新课抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点．直线l叫做抛物线的准线．问题2：定

2、点在定直线外．若定点在定直线上,得到的点的轨迹是什么?过定点F与定直线l垂直的直线．问题3；如何求抛物线的方程？如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合.设

3、KF

4、＝p(p＞0)，设点M(x,y)是抛物线上任一点，点M到l的距离为d．由定义，抛物线就是集合P＝{M│

5、MF

6、＝d}．将上式两边平方并化简，得抛物线的标准方程：y2＝2px(p＞0)．它表示的抛物线焦点在x轴的正半轴上,它的准线方程是问题4：抛物线的方程还有其它形式吗？问题5：为什么会出现四种不同的情形？由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况。问题6：图形的位置特

7、征和方程的形式有何关系？当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．问题7：p的几何意义是什么？p的几何意义是焦点到准线的距离问题8：抛物线的开口方向由什么决定？标准方程中p前面的正负号决定了抛物线的开口方向．例1⑴已知抛物线的标准方程是y2＝6x，求它的焦点坐标和准线方程；解：∵p＝3，∴⑵已知抛物线的焦点坐标是F(0,－2)，求它的标准方程；解：∵焦点在y轴的负半轴上，∴所求抛物线的标准方程是x2＝－8y．练习1．分别求满足下列条件的

8、抛物线的标准方程．⑴过点(3,－4)；⑵焦点在直线x＋3y＋15＝0上．解：⑴∵(3,－4)在第四象限，∴抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，①或x2＝－2p1y(p1＞0)．②把点(3,－4)分别代入①和②，解得所求抛物线方程为，⑵利用待定系数求轨迹法方程．２．练习教材P.67练习第1、2题．例2．点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．解：如图，设点M的坐标为(x,y)．由已知，点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离．根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线．∵∴∵焦点在x轴正半轴上，∴点M的轨迹方程为y＝16

9、x．（利用圆锥曲线的定义求轨迹方程．）三．课堂小结1．抛物线的定义类似椭圆和双曲线的第二定义，其离心率e=1．2．抛物线有四种标准方程．3．p的几何意义是焦点到准线的距离．4．标准方程中p前面的正负号决定了抛物线的开口方向．5．求轨迹方程的方法：（1）待定系数法；（2）定义法．四．课后作业《习案》作业二十一。