数学高考复习综合能力题选讲(二)

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1、数学高考复习综合能力题选讲(二)本刊试题研究小组   “立足基础，突出能力考查；从学科整体知识结构和思想体系上考虑问题，加强试题的综合性和应用性；创设新颖的情景和设问方式”构成了高考命题(数学科)的主旋律．这使得高考试卷中综合能力题的分量越来越重，如1999年试卷中几何类的综合能力题就包括客观题的第(6)、(10)、(13)、(18)题，主观题的第(24)题等．通过综合知识来完成“逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力”的考查入情入理，而解答综合能力题离不开数学的基本思想和基本方法

2、的指导和运用．这就要求我们在平时的教学中注意和重视数学基本思想和方法的渗透和掌握，加强能力培养，教会学生善于抓住问题的实质，对所给问题提供的信息能进行分解、组合和加工，以便寻找解决问题的方法．另外，“增加思考量，控制计算量”值得我们在几何复习中深思．   例1某人买了一罐容积为V升、高为ａ米的直三棱柱型罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为ｂ、ｃ的地方(单位：米)．为了减少罐内液体油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐

3、内液体油最理想的估计能剩多少．   讲解：首先据题目叙述画出示意图(图1)．直三棱柱为ＡＢＣ-Ａ′Ｂ′Ｃ′，破损处为Ｄ、Ｅ，并且ＡＤ＝ｂ，ＥＣ＝ｃ，ＢＢ′＝ａ．图1图2   其次，是理解“最理想的估计能剩多少”这句话，并将其翻译为数学语言--“罐内所剩液油的最大值为多少?”   7/7再次，是想象什么时候才能达到该最大值．显然，过D、E两点的平面同时应过B′，才可达到要求．故问题转化为求几何体ＡＢＣＤＢ′Ｅ的体积．   最后，为求该不规则几何体的体积还应对图形进行处理，办法不惟一，仅给出一种如下：   因

4、为ＶＡＢＣ-ＤＢ′Ｅ＝ＶＤ-ＢＣＥＢ′＋ＶＤ-ＡＢＣ，而ＶＤ-ＡＢＣ＝ｂＶ/３ａ，故只需求ＶＤ-ＢＣＥＢ′，参见图2．   由ＶＤ-ＢＣＥＢ′ＶＡ′-ＢＣＣ′Ｂ′＝(ａ＋ｃ)/２ａ及ＶＡ′-ＢＣＣ′Ｂ′＝(２/３)Ｖ，可求得ＶＤ-ＢＣＥＢ′＝（ａ＋ｃ）Ｖ/３ａ．   于是，最理想的估计是剩下（ａ＋ｂ＋ｃ）Ｖ/３ａ升．   说明：该题的背景为学生所熟悉，考查了学生阅读理解、空间想象及处理图形的能力．   例2如图3所示，在矩形ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ＝１，ＢＣ＝ａ，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，且ＰＡ＝１．图3   （

5、1）在ＢＣ边上是否存在点Q，使得ＰＱ⊥ＱＤ，说明理由；   （2）若ＢＣ边上有且仅有一个点Q，使ＰＱ⊥ＱＤ，求ＡＤ与平面ＰＤＱ所成角的正弦值；   （3）在（2）的条件下，能求出平面ＰＱＤ与平面ＰＡＢ所成的角的大小吗?   讲解：对于（1）假设边ＢＣ上存在Ｑ点，使得ＰＱ⊥ＱＤ，则连结ＡＱ，必有∠ＡＱＤ＝９０°，反之亦然，故问题转化为：在边ＢＣ上是否存在点Ｑ，使得∠ＡＱＤ＝９０°．   由平面几何知识，问题又可转化为：以ＡＤ为直径作圆，是否与ＢＣ边有公共点?   易知，当ＡＢ≤(１/２)ＡＤ时，即ａ≥２时，

6、ＢＣ边上存在点Ｑ，使得∠ＡＱＤ＝９０°，从而ＰＱ⊥ＱＤ；当ＡＢ＞(１/２)ＡＤ时，即ａ＜２时，不存在点Q，使得ＰＱ⊥ＱＤ．   若通过引入线段参数，构造一元二次方程，利用判别式也可得到解答，留给读者完成．(提示：设ＣＤ＝ｘ，由勾股定理建立方程．）   对于（2），当ＢＣ边上有且仅有一个点Ｑ，使得ＰＱ⊥ＱＤ，可知ＢＣ＝２，点Ｑ为ＢＣ的中点，过Ａ在平面ＰＡＱ上作ＡＦ⊥ＰＱ，垂足为Ｆ，连结ＦＤ，则∠ＦＤＡ是直线ＡＤ与平面ＰＱＤ所成的角．可求得ｓｉｎ∠ＦＤＡ＝ＡＦ/ＡＤ＝．   对于（3），留给读者思考．   说

7、明：7/7该题考查了学生利用所学知识探索求解问题的能力．体现出转化的思想．  例３若方程ｘ＋ｙ－６＋３ｋ＝０仅表示一条直线，则实数ｋ的取值范围是____．   讲解：一个二元一次方程与一条直线对应，而所给方程为无理方程，必须对其进行求解转化为ｘ＋ｙ＝ｍ的形式方可．   显然应有ｘ＋ｙ≥０，故所给方程即   （）2－６＋３ｋ＝０．（*）   视ｘ＋ｙ为一个整体，则其有解必先满足   Δ＝３６－１２ｋ≥０，得ｋ≤３．   在ｋ≤３的前提条件下，若方程（*）有零根，必有ｋ＝０，此时，可由（*）解得   ＝０，＝

8、６，即ｘ＋ｙ＝０，ｘ＋ｙ＝３６．   得到了两条直线的方程，表示两条直线，与题设要求不符，故不能为零．从而关于的二次方程(*)的根的情况包括三种可能：两正，两负，一正一负．但两负的情况与题设要求不相符．故有   若从方程（*）中解出等于两个正数，除非其相等，才能满足题设．由Δ＝０得ｋ＝３，且＝３，即ｘ＋ｙ＝９，满足题设；   若从方程（*）中解出等于一个正数及一个负数，则必有负数被舍，仅得等于正数，也满足题设．由两根之积小于零