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1、补充1初等子框架定义1.1子框架F=是框架，W¢ÍW，R¢=R
2、W¢框架F¢=称为由W¢生成的F的子框架。任给x,yÎW¢，都有xRy当且仅当xR¢y。为了表示R和R¢之间的联系，可以将记为，对x,yÎW¢，可以将xR¢y记为xRy。一般的子框架和原框架没有什么联系，我们考虑一种特殊的子框架。如果从xÎW¢且xRy能够得到yÎW¢，则称W¢对R封闭。定义1.2初等子框架F=是框架，W¢ÍW，如果W¢对R封闭，则称子框架是F的初等子框架。定理1.3F=
3、是框架，F¢=是F的初等子框架。任给F¢上的赋值V¢，存在F上的赋值V，使得任给xÎW¢，任给公式a，都有V(a,x)=V¢(a,x)。证任给F¢上的赋值V¢，取V如下：任给命题变项p，V(p,x)=V¢(p,x)如果xÎW¢1否则归纳证明：任给xÎW¢，任给公式a，都有V(a,x)=V¢(a,x)。(1)a是命题变项，按定义V(a,x)=V¢(a,x)。(2)a=Øb，由归纳假设V(b,x)=V¢(b,x)，所以V(a,x)=1当且仅当V(Øb,x)=1当且仅当V(b,x)=0当且仅当V¢(b,x)=0当且仅当V¢(
4、Øb,x)=1当且仅当V¢(a,x)=1。因此，V(a,x)=V¢(a,x)。8(3)a=bÙg，由归纳假设V(b,x)=V¢(b,x),V(g,x)=V¢(g,x)，所以V(a,x)=1当且仅当V(bÙg,x)=1当且仅当(V(b,x)=1且V(g,x)=1)当且仅当(V¢(b,x)=1且V¢(g,x)=1)当且仅当V¢(bÙg,x)=1当且仅当V¢(a,x)=1。因此，V(a,x)=V¢(a,x)。(4)a=□b，由归纳假设任给yÎW¢，都有V(b,y)=V¢(b,y)。因为W¢对R封闭，所以任给xÎW¢，都有(yÎW¢且xR¢
5、y)当且仅当(yÎW且xRy)。所以V(a,x)=1当且仅当V(□b,x)=1当且仅当"y(如果yÎW且xRy则V(b,y)=1)当且仅当"y(如果yÎW¢且xR¢y则V(b,y)=1)当且仅当"y(如果yÎW¢且xR¢y则V¢(b,y)=1)当且仅当V¢(□b,x)=1当且仅当V¢(a,x)=1。因此，V(a,x)=V¢(a,x)。■定理1.4F¢=是F=的初等子框架。任给公式a，如果任给F
6、=a，则F¢
7、=a。证任给F¢上的赋值V¢，任给xÎW¢，由定理1.3得存在F上的赋值V，使得V(a,x)=V¢(a
8、,x)，由F
9、=a得V(a,x)=1，所以V¢(a,x)=1，因此F¢
10、=a。■定理1.5F=是框架，F¢=是F的初等子框架。任给F上的赋值V，存在F¢上的赋值V¢，使得8任给xÎW¢，任给公式a，都有V¢(a,x)=V(a,x)。证任给F上的赋值V，取V¢如下：任给命题变项p，V¢(p,x)=V(p,x)。归纳证明同定理1.3。■F=是框架，G={Fi=
11、iÎI}是F的初等子框架类（即任给iÎI，Fi都是F的初等子框架）。如果W=∪{Wi
12、iÎI}，则称G是F的完备的初等子框架类。定
13、理1.6F=是框架，G={Fi=
14、iÎI}是F的完备的初等子框架类，则F等价G（即任给公式a，都有F
15、=a当且仅当G
16、=a）。证证明如果F
17、=a，则G
18、=a。任给FiÎG，Fi都是F的初等子框架，由定理1.4得Fi
19、=a，因此G
20、=a。证明如果G
21、=a，则F
22、=a。任给F上的赋值V，任给xÎW，由W=∪{Wi
23、iÎI}得存在iÎI，使得xÎWi，由定理1.5得存在Wi上的赋值Vi，使得Vi(a,x)=V(a,x)，由G
24、=a得Fi
25、=a，所以Vi(a,x)=1，由Vi(a,x)=V(a,x)得V(a,x)=1
26、，因此F
27、=a。■什么样的子框架类可以成为一个框架的完备的初等子框架类？定义1.7相容G={Fi=
28、iÎI}是框架类，G称为相容的，如果G满足以下条件：(1)任给i,jÎI，任给x,yÎWiÇWj，都有xRiy当且仅当8xRjy。(2)任给xÎWiÇWj，任给yÎWj，如果xRjy，则yÎWiÇWj。定理1.8G={Fi=
29、iÎI}是相容的框架类，令W=∪{Wi
30、iÎI}，R=∪{Ri
31、iÎI}，构造框架F=，则G是完备的初等子框架类。证证明任给iÎI，Fi是F的初等子框架。1.证明32、>是的子框架，即证明R
33、Wi=Ri，也就是证明任给x,yÎWi，都有xRy当且仅当xRiy。如果xRiy，由R的定义得xRy。如果xRy，由R的定义得存在jÎI，使得xRjy。由xRjy得x,yÎWj，所以xÎWiÇWj，y
