利用几何画板研究平面几何中折叠问题

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1、利用几何画板研究平面几何中折叠问题摘要：图形折叠问题的解决在平面几何研究中独具一格，它深入浅出，涵盖了图形变换、数形结合等重要的思想与方法.就图形折叠所具备的对称性展开，对其所涉及的知识要点和研究方法进行了逐一剖析与探讨•学生要经历由数到形的突变，往往会感到不适应，利用几何画板可以帮助学生有更直观的感受，进而帮助解题.以2005年广东高考最后一题为例，以两种解法利用几何画板分析折痕在不同位置所形成的函数的分段讨论，使学生的思路更为清晰，其中第二种方法以直线1在y轴上的截距b为参数进行讨论，几何意义更明确•此外还可以直接

2、利用几何画板中的“度量”工具度量折痕的长度，使学生先对长度的最值有一个直观的认识以后，再寻找严谨的代数解法，从而降低了试题的难度，更益于学生的理解和接受.关键词:几何画板;折叠问题;平面几何折叠问题是解析几何中常见的问题之一，利用几何画板可以对折叠所形成的对称关系进行分析与探索.类型一：已知点A与直线1,若以1为折痕，求折叠后A的位置A',利用直线1与线段AA'的垂直平分关系可得如下作法:1•过点A作直线1的垂线，交1与点C.2•以C点为圆心，AC长为半径作圆，交垂线于一点A',则A'即为所要求的点A折后的位置.其中第

3、二步也可由标记点C为中心，对点A进行旋转完成.运动点A或直线1皆可观察点A'的位置变化.类型二：已知点A关于直线1折叠后所对应的点为A',此时确定折痕所在直线1的位置只需作线段AA'的垂直平分线即可。(图略)下面以2005年广东高考最后一题说明这个问题，题目如下：在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合(如图5所示)•将矩形折叠，使A点落在线段DC±.(I)若折痕所在直线的斜率为乙试写出折痕所在直线的方程；(II)求折痕的长的最大值.利用几何画板可

4、以帮助学生更好地理解此题的不同解法.解法一：设折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1),则该问题转化为如何由点A、G寻找折痕1的位置。解题关键应为A、G关于1对称，具体如下：第一步：构造线段DC上的G,并做线段AG的垂直平分线1,则1即为折痕所在的直线.第二步：做关于G点的动画，观察折痕的位置.易得到以下结论：(1)由图1、图2、图3可知，折痕的长度会因1的位置不同而有三种不同的求法.(2)当1过点D、B为分界点(图略).(3)当点G与D点重合时如图4.(4)当点G与C点重合时，折痕为对角线BD(图略).解法如下：解

5、(I)(1)当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=.(2)当kHO时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1).所以，A与G关于折痕所在的直线对称.有kOG•k=T,k=T?圮a=-k故G点坐标为G(-k,1)从而折痕所在的直线1与0G的交点坐标(线段0G的中点)为-，折痕所在的直线方程y-(x+),即y=kx++.由(1)(2)得折痕所在的直线1方程为：y=kx++.解(II)若折痕所在的直线过点D(0,1)则k=-l；若折痕所在的直线过点B(2,0)则k=-2+；若点G与点D(0,1)重合，

6、则E0；若点G与C点重合，则k二-2.(1)当-2+WkWO时(如图3),直线1交BC于N(2,2k++).y二MN2二22+-(2k++)2二4+4k2W4+4(7-4)=32-16.(2)当—lWkW~2+时(如图2)，y二MN2二()2+(-)2二y‘=令y‘二0，解得k二-，此时y二MN2二・(3)当-2

7、y轴的交点为P(0,b),该题解题关键转化为利用AP=PG确定G点与折痕位置的问题•具体解法如下：第三步：运动点P,可以得到三类不同的折痕图形，以1过点D、B为分界点(图略).解题过程如下：I(1)由题知当b=0.5时，k=0,折痕所在的直线方程为y二0.5.(2)当0.5PN2=22+[b-(k+b)]2=8b<8(4-2)；(2)4-2