2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第78讲直线与圆锥曲线交点个数问题解法

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1、第78讲直线与圆锥曲线交点个数问题解法【知识要点】直线与圆锥曲线的交点的个数问题的处理方法一般有两种：方法一：判别式法把直线和圆锥曲线的方程联立，消去y,得到方程^+Ax+c=O,对a.是否为零分类讨论，利用判别式得到参数的取值范I韦I.方法二：数形结合法先画出直线和圆锥曲线，再利用数形结合分析解答.【方法讲评】方法一判别式法解题步骤(1)把直线和圆锥曲线的方程联立，消去y,得至1」方程*4■肚十窃・°；(2)对么是否为零分类讨论，利用判别式得到参数的取值范围.【例1】已知双曲线•八匕亠(1)求直线L的斜率的収值范围，使L与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.(

2、2)若Q(l,l),试判断以Q为中点的弦是否存在，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.Iv=kx+1【解析】(1)解方程组丿；,1x*=1当1一疋=0,k=±l时消去尹得(i-kV-2kx-2=0k=l时，x-l,y=O,直线与双曲线只有一个交点：k-1时，x=l,y=O,直线与双曲线只有一个交点.A=(-2t)^+4-3(1-P)=8-4P综上知：时，直线Z与曲线U有两个交点，上=±忑时，直线z与曲线u切于一点，*=11时，直线/与曲线c交于一点.*<-^5或上:>返直线/与曲线c没有公共点.由A>08-4*^>0得-42<上<电，直线与双曲线有两个交

3、点;^4=08-4*a=0得*=±-^2,直线与双曲线只有一个交点;（2）不存在假设以Q点为中点的弦存在当过Q点的直线的斜率不存在时，显然不满足题意.当过Q点的直线的斜率存在时，设斜率为K联立方程］x>打一［两式相减得：（兀一切⑶+切-①一乃）（》i+比）=og一乃i所以过点Q的直线的斜率为K=l,所以直线的方程为y=x即为双曲线的渐近线，与双曲线没有公共点.即所求的直线不存在.【点评】（1）本题就是利用判别式法讨论直线与双曲线的交点个数问题.（2）把直线和圆锥曲线的方程联立，消去y,得到方程衣+加十£=0,—定要关注a是否为零，不能直接利用判别式讨论.因为旷0

4、时，方程=0不是一元二次方程，没有判别式.【反馈检测1】求过点阿的直线，使它与抛物线^=2x仅有一个交点.方法二数形结合法解题步骤先画出直线和圆锥曲线，再利用数形结合分析解答.-y—=A0上>0）【例2】己知双曲线a»,若过其右焦点F作倾斜角为45。的直线1与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的范围是（）A.B.C.[2,+°°)D.(1,2)【解析】要使直线与双曲线有两个交点，数形结合分析得需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即-

5、双曲线中QI•，的范围是（1,4.故选B・【点评】（1）木题就是利用数形结合分析得到k〈l,从而得到离心率的取值范围.（2）对于直线与双曲线的交点个数问题，一般利用渐近线作为研究的参照.（3）本题最后不要忽略了离心率e的范围e>l,一定要把求出的离心率e的范围和e>l求交集.【反馈检测2】若直线尸・2与曲线恰有两个不同的交点，则的取值所构成的集合为高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第78讲:.直线与圆锥曲线交点个数问题解法参考答案z=lk=0z=zx+l-【反馈检测1答案】2【反馈检测1详细解析】当所求直线斜率不存在时，即直线垂直X轴，因为过点（0」），所以x=0

6、:即y轴,它正好与抛物线V2=2x相切。当所求直线斜率为零时，直线为y=1平行x轴，它正好与抛物线=2x只有一个交点。y=kx+1v2=2x设所求的过点（0.1）的直线为p=也+1仗工0）则Lx2+(2fc-2)x+1=0.令△=0：解得k=^.所求直线为y=^x+l.综上，满足条件的直线为：y=l：x=0:【反馈检测2答案】Ki-i<*

7、x

8、>1吋，为双曲线在X轴上方的部分，其渐近线为y=±x.故当直线y二k

9、x+2与渐近线平行时，k二±1,・・・-lVk<1时，直线与双曲线有两个不同的交点,.•.ke{k

10、_l

11、_l