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《2017-2018学年高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案（含解析）新人教a版选修4-4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、四渐开线与摆线1.渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的逝升线，相应的定圆叫做基圆.2.摆线的概念及产生过程一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹,叫做平摆线,简称摆线，又叫旋轮线.3.圆的渐开线和摆线的参数方程(e为参数)•x=rcos0+0sin“(1)圆的渐开线方程：•丄丄丄卩=厂sin0cose(2)摆线的参数方程:x=ry=r0—sin(t>1—cose(O为参数).求圆的渐开线的参
2、数方程求半径为4的圆的渐开线的参数方程.关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系.以圆心为原点0,绳端点的初始位置为必，向量0倔一的方向为X轴正方向，建立坐标系.设渐开线上的任意点y),绳拉直时和圆的切点为故创丄加/按渐开线定义,弧仙的长和线段仙的长相等，id0A和x轴正向所夹的角为〃(以弧度为单位)，贝川仙作垂直于x轴，过肘点作/〃的垂线，由三角函数和向量知识，得0A=(4cos0,4sin〃)•由儿何知识知AMAB=0,M肘=(4〃sin()、一4〃cos“),得0M=0A+AM=
3、(4cos0+4〃sin久4sin0—4"cos〃)=(4(cos0+〃sin“)，4(sin0—〃cos〃)).―►U=4cos〃+"sin0,又OM=(x,y),因此有］片・/,“z)(&是参数)•k=4sin&—"cos&这就是所求圆的渐开线的参数方程.［方法・规律•小结］用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为财匕，y).(2)取定点运动中产生的某一角度为参数.(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式.(4)用向量运算得到0"的处标表达式，由此得到
4、轨迹曲线的参数方程.1.圆的渐开线cost+Z-sinsint—tcos(r是参数)上与=专对应的点的直角坐标为()答案：A(JITlB・(l-孑1+节D(l+于，TJT42.基圆直径为10,求其渐开线的参数方程.解：取0为参数，妙为基圆上点与原点的连线与;r轴正方向的夹角.・・•直径为10,.・・半径厂=5.{x=5cos0+/sin2y=5sin0—0cos(1)这就是所求的圆的渐开线的参数方程.求摆线的参数方程求半径为2的圆的摆线的参数方程.利用向量知识和三角函数的有关知识求解.当圆滚过Q角时，圆心为点5
5、圆与龙轴的切点为儿定点M的位置如上图所示，ZABM=a.由于圆在滚动时不滑动，因此线段勿的长和圆弧加/的长相等，它们的长都等于2”,从而〃点坐标为(2a,2),向量防=(2a,2),向量MB=(2sina,2cosa),BM=(—2sina,—2cosa),因此~OM=~OB=(2a—2sina,2—2cosa)=(2(a—sina),2(1—cosa)).动点必的坐标为d,y),向量OM=O,y),x=2尸2a—sina1—cosa这就是所求摆线的参数方程.［方法・规律•小结］(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一
6、条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，对知其中的字母厂是指定圆的半径,参数0是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小.〃〃〃氐他集轲7////(Z是参数，0WZW2H)与直线y=2的交点的直角坐x=2t~sint,3.摆线[y=21—cost.标是•答案：(n—2,2)或(3n+2,2)4.圆的半径为屮，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点o.圆上点必起始处沿顺时针已偏转e角.试求点〃的轨迹方程.解：由题意设於(加，为)，则Xa=r*zcosf=z，(0—
7、sin0),W=zH-rsinr(l—cosQ)・即点肘的轨迹方程为x=ri—cose（e为参数）•课时跟踪检测（十三）一、选择题1.半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是（）A.nB.2nC.12nD.14n解析：选c根据条件可知，圆的摆线方程为%=30—3sind儿(0为参数),y=3—3cos2把尸0代入，得0=2&n(«GZ),此时x=^k^(A^Z)-2.给出下列说法:①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出
8、处标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方稈;④圆的渐开线和/轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有（）A.①③B.②④C.②③D.①③④解析：选C对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在处标系屮的位置也会不同,相应的参
