高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线课堂探究学案新人教a版选修4-4

《高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线课堂探究学案新人教a版选修4-4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、四　渐开线与摆线课堂探究探究一圆的渐开线的参数方程解答此类题目，不仅要记住圆的渐开线的参数方程的基本形式，还要知道每个字母所表示的意义．【例题1】已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上的A，B两点所对应的参数分别是和，求A，B两点间的距离．思路分析：先写出圆的渐开线的参数方程，再把A，B对应的参数分别代入参数方程可得对应的A，B两点的坐标，然后使用两点间的距离公式可得A，B间的距离．解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线的参数方程是(φ为参数)．分别把φ＝和φ＝代入，可得A，B两点的坐标分别为.根据两点间的距离公式可得A，B两

2、点间的距离为

3、AB

4、＝＝.故A，B两点间的距离为.探究二圆的摆线的参数方程根据圆的摆线的参数方程的表达式x＝r(φ－sinφ)，y＝r(1－cosφ)(φ为参数)，可知只需求出其中的r，就能写出相应圆的摆线方程．摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式即可．【例题2】已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．思路分析：根据圆的摆线的参数方程(φ3为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最

5、大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．解：令y＝0，可得r(1－cosφ)＝0，由于r＞0，即得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝r(φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ)(k∈Z)．又因为x＝2，所以r(2kπ－sin2kπ)＝2，即得r＝(k∈Z)．又由实际可知r＞0，所以r＝(k∈N*)．易知，当k＝1时，r取最大值为.代入即可得所求圆的摆线的参数方程为(φ为参数)；所求圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)．探究三易错辨析易错点：考虑φ不全面【例题3】已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程

6、．错解：令r(1－cosφ)＝0可得cosφ＝1，所以φ＝0，代入可得x＝0.故此题无解．错因分析：在求出cosφ＝1时，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面．正解：令r(1－cosφ)＝0可得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入可得x＝r(2kπ－sin2kπ)＝1.所以r＝(k∈Z)．又根据实际情况可知r是圆的半径，故r＞0.所以应有k＞0，且k∈Z，即k∈N*.所以所求摆线的参数方程是3(φ为参数，k∈N*)．3