资源描述：
《关于椭圆与双曲线对偶性质的重要结论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、、双曲线的对偶性质1.(1)设Ai、A?为椭圆的左、右顶点，贝UAPFiFz在边PF2(或PFi)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2(或A1)・证明：设旁切圆切x轴于川，切P▲于M,F】P于N,贝IJ
2、PN
3、=
4、PM
5、MF2
6、=
7、M/1,
8、:.pf1+pm=f1f2+mf2\PFl+PF2-F2At=FlF2+F2A'=>2a=2c+2lF2^^>F2A'=a-c^F2A2・•・川与A2重合.(2)设Ai、A2为双曲线的左、右顶点，则APF1F2的内切圆,证明：设£4切X轴于点/T,与丹;
9、切于M,PF?切于N•.*
10、PF}-PF2=2a<^>PM^MF}-PN-NF2=2a・・・
11、PM
12、=
13、PN
14、,
15、MFd,
16、NF2
17、=
18、A迟I:.FlA,-A,F2=2a又F{A'+A'F2=2c:.A'F2=c-a=A2F2I,・・・4与八2重合.注：可知，圆心在直线x-a或直线兀=一。上.必与A1A2所在的直线切于A2(或Ai)・2.(1)椭圆匚+匚=1(a>b>o)的两个顶点为A(_a,O),A,@,O),与y轴平行的直线交椭圆于PbP2时,abAP与A2P2交点的轨迹方程是卜汨・证明：设交
19、点5(x0Oo)，片伽,川)，P2(tn,-n)•・•=KAfS心卅=%,ax0+a=>0n=>m+a一〃_儿一tr_)£m-ax()+ax()-aa2-nV-a20=1=77lra2%=K"-J£_=^^4-4=r即轨迹方程为匚-若ixj-a・crcrlrc广lr22(2)双曲线二-匚二1(a>0,b>0)的两个顶点为£(-°,0),舛(么0)，aIr22Pi、P2时A]Pi与A2P2交点的轨迹方程是务+汁1・证明：设交点S(x0,y0),P{(w,n),P2(m,-n)n二儿fn+aXo+Q=斤f二y°凡=用二朮-n_)bm+am-ax
20、()+axQ-aa2-nr-a2m-ax^-a又二CTn.nm——=I=>——=—b2h2a=>/?a_-m"b2・・・"、=_作=>直+罢=1艮卩二+匚=1-a2a2a2b2a2b13.（1）若/>（x0,y0）在椭圆｛+£=1上，则过人的椭圆的切线方程是^+#=1.crb~ab"b2、xb，•:切线方程：y-y0=--(x-x())证明：求导可得：至+冷上=0a"~十一7"^—1alr（2）若&（和y0）在双曲线务-*=1yoya2+xxob2=x^b2+y^a2=a2b2（a>O,b>O）上，则过£的双曲线的切线方程是辔-孕=1.cr
21、trcr少证明：求导可得：李-瞬=（）〜）上逬，切线方程y_y（严逬（―和二尊-労=1/y^aX/rcrIr4.（1）若人（无,儿）在椭圆4+4=1外，则过P。作椭圆的两条切线，切点为Pl、P2，则切点弦P1P2的旷lr直线方程是尊+兽=1・crb"证明：设片Old），£（兀2*2），则过点片、•・•«在A、厶上・••譽+驴=1,crb「勺勺
22、儿儿二］a2b2•••过Pl，P2方程#+#=1CTF（2）若R（Xo,y0）在双曲线——yy=1CTb则切点弦P』2的直线方程是譽-a马切线分别为厶:芳+詈二口：（a>0,b>0）外,则过P（）作双
23、曲线的两条切线切点为ItP2,M-i证明:设饷，％）,叫，％），则过M切线分别为厶：孕-罟=1，/bT在4、厶上・••沪+诸=1，兀2兀，>2>?01•空_竺2・a2b2・••过M方程辱-#=1°CTb「225・（1）AB是椭圆刍+=1的不平行于对称轴且不过原点的弦,a少证明：设A（g%）,3（%儿）则M（冲Z罟込乙乙£+心心-卞心2_心.222222V^1_+—-!-—+—=>A/1~Xtia2lr~a2b2=/（2）AB是双曲线三■-斗=1（a>O,b>O）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则b2a-^OM•忍〃=尹*证
24、明：设AE，儿）,3（勺，儿），则M（主导•苓妇,厶乙b2，•:KomKab=务2o226.⑴若人(如,凡)在椭圆务+養“内，则被P。所平分的中点弦的方程是孚++兽.6TDCTDCTD证明:设中点弦交椭圆一个定点为A(m,n),则另一个为B(2x0-m,2y0-n)・.(2着匚宀+(2儿7)二]①,b2①—②得：心w)wa2b2又％二2凡_2川二儿_川二庆心2看)-2mx(}-tny(}a2・••弦AB方程为严一空(—go警+卑二菩+过yoab6Tlrcr夕—b2y0_b2x0~^KAB一一-•—一一-2-、旷X兀a3o・••弦AB方程为)
25、,_甘_空(一兀。)0兽+学=曽+埜y()crlratrtra2lr证明二：由第9题得：kAli-k0P^=(2)若AS)在双曲线务-斧1(a>0,b>0)内，则被Po所平分的中
