2018届河北省定州中学（高补班）下学期期中考试数学试题

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1、河北定州中学2017-2018学年第二学期高四数学期中考试试题一、单选题1．已知函数，若恰有两个不同的零点，则的取值范围为（）A.B.C.D.2．已知定义域为的函数的导函数为，且满足，则下列正确的是（）A.B.C.D.3．双曲线:的左顶点为，右焦点为，过点作一条直线与双曲线的右支交于点，连接分别与直线：交于点，则（）A.B.C.D.4．已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前50项的和为（）A.2448B.2525C.2533D.26525．已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为

2、直线的斜率，则的最小值为（）A.B.C.D.6．已知函数在上满足，当时，.若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7．记函数在区间内的零点个数为，则数列的前20项的和是（）A.430B.840C.1250D.16608．定义域为的函数的图象的两个端点分别为，，是图象上任意一点，其中，向量.若不等式恒成立，则称函数在上为“函数”.若函数在上为“函数”，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.9．已知等差数列的前项和为，且，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.10．定义域为的函数的图象的两

3、个端点分别为，，是图象上任意一点，其中，向量.若不等式恒成立，则称函数在上为“函数”.已知函数在上为“函数”，则实数的最小值是（）A.1B.2C.3D.411．已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥外接球的表面积是（）A.B.C.D.12．若直线和曲线的图象交于，，三点时，曲线在点、点处的切线总是平行的，则过点可作曲线的（）条切线.A.0B.1C.2D.3二、填空题13．数列中，为数列的前项和，且，则这个数列前项和公式__________．14．数列中，，，设数列的前项和为，则_______.15．已知函数

4、，函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．16．若对任意的，不等式恒成立，则__________．三、解答题17．已知函数，函数是区间上的减函数.（1）求的最大值；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）讨论关于的方程的根的个数.18．已知动点到定点和到直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线，过点作垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线与曲线交于两点，与相交于一点（交点位于线段上，且与不重合）.（1）求曲线的方程；（2）当直线与圆相切时，四边形的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线

5、的方程；若没有，请说明理由.19．已知函数，.若恒成立，求的取值范围；已知，是函数的两个零点，且，求证：.20．直线与抛物线交于两点，且，其中为原点.（1）求此抛物线的方程；（2）当时，过分别作的切线相交于点，点是抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，求与的面积比.21．已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围.22．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，，分别为左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直

6、线交椭圆于不同两点，.为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.参考答案CACBCAABDD11．B12．C13．14．15．16．0或17．（1）；（2）；（3）当，即时，方程无解；当，即时，方程有一个解；当，即时，方程有两个解.（1）∵，∴，又∵在上单调递减，∴在恒成立，∴，∴故的最大值为-1；（2）∵，∴只需在上恒成立，既，令，则需则，又∵恒成立，∴；（3）由于，令，∵，∴当时，，即单调递增；当时，，即单调递减，∴，又∵，∴当，即时，方程无解；当，即时，方程有一个解；当，即时，方程

7、有两个解.18．（1）；（2）直线（1）设点P(x，y)，由题意可得，，得.∴曲线E的方程是（2）设，由条件可得.当m＝0时，显然不合题意.当m≠0时，∵直线l与圆x2＋y2＝1相切，∴，得.联立消去y得,则△，.，当且仅当，即时等号成立，此时代入得.经检验可知，直线和直线符合题意.19．（1）（2）见解析令，有，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值，为，若恒成立，则即.方法一：，，，即，欲证：，只需证明，只需证明，只需证明.设，则只需证明，即证：.设，，在单调递减，，，所以原不

8、等式成立.方法二：由（1）可知，若函数有两个零点，有，则，且，要证，只需证，由于在上单调递减，从而只需证，由，只需证，又，即证即证，.令，，有在上单调递增，，.所以原不等式成立.20．（1）（2）2（1）设，将代入，得.其中，.所以，.由已知，.所以抛物线的方程.（2）当时，，易得抛物线在处的切线方程分别为和.从而得.设，则抛物线在处的切线方程为，设直线与轴交点为，则.由和联立解得交点，由和联立解得交点，所以，，所以与的面积比