专题215+超越方程反解难巧妙构造变简单-玩转压轴题突破140分之高三数学解答题高端精

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1、丄-1%!+X2屮/込如+1,所以F一壬一勺2(IrLT]-lor?)4Xj-x2x1+x2=。，转化为血-晋=0•其专题15超越方程反解难，巧妙构造变简单【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程屮有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程.超越方程的求解无法利用代数几何来进行.大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解.在探求诸如x3-6x2+9x-10=0,x2-21n%=x-2V^+2方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决.此类题的-•般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域

2、.2、求导数，得单调区间和极值点.3、画出函数草图.4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与兀轴的交点情况求解.【典例指引】例1.已知函数/（兀）=ox+兀lar在兀=幺一2处取得极小值.（1）求实数a的值；（2）设F（x）=x2+（x-2）lnr-/（x）,其导函数为F（x）,若F（x）的图象交兀轴于两点（7（西,0）,£）（兀2,0）且西v兀2,设线段CQ的中点为N（$,0）,试问$是否为r（x）=0的根?说明理由.【思路引导】（1）先求导数，再根据/（e-2）=0,解得a=lf最后列表验证（2）即研究F（匕鱼］=0是否成立,利用-21(1勺一X]=0,x22-21il¥

3、2-x2=0得r最后利用导数研究函数啲皿一嚮单调性，确定方程解的情况试题解析:(1)因为f^x)=ax+Ddnx?所以f(对=d+lnx+l>因为函数才（力在兀=孑处取得极小值,所以广（旷2）=0,即口+也旷2+1=0,所以4=1,所以八丸）=lnx+2>ff(x)aO时〉x>e~2?当f(刘<0时〉0

4、-%,=0,x22-21or2-x2=O.2（lar.-lnxj两式相减得壬+七=+1兀厂吃Fx)=2x---1.X兀［+兀2'2,Ff4‘2(1^-1ilv2)4%1+%21=X{+勺X,-X2X{十X2下解亠“BplnA_2(x.-x2)=()兀］-X2旺+x2x2Xj+x2令弋，•••0<心2,.•.O(),・・・u(t)在(0,1)上是増函数，则u(t)

5、(x)=lnx-—ax1-bx2(1)当a=3,b=2时，求函数/(兀)的单调区间；(2)令F(x)=/(x)+-^2+/?x+-(00和广(x)〈0,广(对)0的区间为单调增区间，/*(%)<0的区间为单调减区间；(2)先构造函数F(兀)再由以其图象上任意一点P(x0,y0)为切点的11(1A切线的斜率£5—恒成立

6、，知导函数£5—恒成立，再转化为an—v+^()求解；(3)先把握222/maxInVf(x)=nix有唯一实数解，转化为加二1+——有唯一实数解，再利用单调函数求解.试题解析:(1)依题青，知/(刃的定义域为｛0.-W),当。=3上=2日寸，/(x)=lnx-

7、x2-2x,£令^(兀)=0,解得乂=§或兀=_1(舍去力所以,(刃的单调増区间为S00；当jca*日寸，r(x)

8、x)=lnx+xf宙得lnx+3c=mx>又ka0>所以加=1+要使方程于(力=7血在区间口上有唯一实数解,只需加=1+旦有唯一实数解令g(x)=l+—(XAO)>•••g'(x)=—>由g©)a0得Ockcsgf(x)<0,得XAS・・・gOc)在区间是増函数，在区间[&/]上是减函数.2[2g(l)=bg(g2)=l+p,g(g)=l+_〉故购<1+飞・【方法点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的儿何意义，属于难题.利用导数研究函数/