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1、空间几何体应用——生活秀我们生活的世界中有许许多多涉及空间几何体的实际问题，这些图形及其应用不仅美化了我们生活的空间，同时也给我们的生活带来了便利，下面结合例题介绍空间几何体在生活中的应用.一、聪明的足球守门员例1甲、乙两足球队决赛互罚点球时，罚球点离球门约10米，乙队守门员违例向前冲出3米，因而扑住了点球，不光彩地赢得了胜利•事实上乙队守门员违例向前冲出3米时,其要封堵的区域面积变小了，问此时乙队守门员需封堵区域面积是原来球门面积的多少倍？分析根据题意画出直观图，可将问题转化为四棱锥底面与平行于底面
2、的截面问题.解从罚球点S向球门ABCD四角连线，构成四棱锥SABCD,如图1所示.守门员从平面ABCD向前移动3米至平面A'VC‘D',只需封堵平面A'C'D'即可，所以SA'BrC'D‘SABCD=(710)2=49100.答：此时乙队守门员需封堵区域面积是原来球门面积的49100.评注：由于条件中没有告诉我们四棱锥的底面边长，因此不能求出底面面积.因为要求的是两个四边形的面积比，所以将问题转化为四棱锥高的比解决.二、测量密封几何体内水面的高例2如图21所示，有一个密封的圆锥形容器，容器的高为h,容
3、器内的水面高为h3,若将容器倒置，使水面与容器底面平行，如图22所示，求此时水面的高.分析因为图21与图22中圆锥形容器的水的体积相等，因此可以利用这个关系列方程求解.解设容器底面半径为r,图21中水面半径为r1,图22中水面高度为x,水面半径为r2,则rlr=23hh=23,所以rl=23r.又因为r2r=xh,所以r2=rxh.图21中水的体积V=13nr2h~13nr21•23h=13nr2h-13n•49r2•23h=19JT81r2h.图22中水的体积V=13r22x=V=13n•r2x3h
4、2.所以13n•r2x3h2=19n81r2h9所以x3=1927h3,所以x=3193h,即此时水面的高为3193h.评注：解空间几何体应用题，要弄清几何体之间的关系,尤其是几何不变量，也就是等量关系，再合理利用这些关系解决问题.三、测量球壁厚度例3一空心合金钢球，重为105克,比重为7.0克/厘米3,测得钢球外径等于5.0厘米，求它的壁厚.分析因为球的质量二球的体积X球的比重，可以利用球的质量列出方程，解方程可得到结果.解如图3所示，设钢球的内径为2r厘米，则钢球重为W=7X[43itX(52)3
5、-43“r3].根据题意得7X[43JiX(52)3-43nr3]=105,所以43Jir3=1256Ji-15,所以r=1258-454jt"2.292,所以壁厚2.5-r=0.208(厘米).答：钢球的壁厚为0.2厘米.评注：本题是一道测量应用题，球的外径及质量通过测量容易得到，而球的内径和壁厚不容易得到，解题时可以通过球的质量列出关于球内径的方程求出内径，另外，球的外径与内径的差即为壁厚.四、测量降雨的降水量例4降雨的降水量是指水平平面上单位面积降水的深度,用上口直径为38cm,底面直径为24c
6、m,深度为35cm的圆台形水桶，(图41是过轴的截面)来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17,问本次降雨的降水量是多少？分析根据题意可求得降水的“体积”，然后根据水的体积不变性，从台体转化为柱体求出降雨的降水量.解由所盛雨水正好是桶深的17,可得水深为357=5cm,设水面半径为「如图42所示，在AABC中，ACA'C'=CBCZBz,即7r-12=7,所以r=13.所以V水二jt3X5X(122+132+12X13)=5n3X469,S上底=JiR2=“X192=361口
7、，所以V水S上底二5n3X469361n~22(mm).答：本次降雨的降水量是22mm.评注：涉及柱体、椎体、台体的面积或体积问题，都需要将问题转化为三角形问题，因此寻找特征三角形是解决问题的关键，而构建特征三角形一般从两高即几何体的高及斜高入手，如本题中的△ABC.五、输液的时间与速度例5医院在给患者输液时，常将输液瓶竖直挂在输液架上，如图5所示，在输液开始时，瓶内药液为一个圆柱与一个圆台的组合体，圆柱的高为9cm,底面圆的直径为8cm，圆台的高为3cm，母线与底面成45°角，输液开始后滴管内匀速滴
8、下球状药液.若球状药液的半径R=310mm,要使瓶内药液在165min内输完，每分钟应滴下多少滴？分析设滴管内每分钟应滴y滴药液，可求出y滴药液的体积•而瓶内药液的体积V二V柱+V台，这两个体积是相等的，因此可利用这个等量关系列出方程，求出y即可.解根据题意可知，圆台上底半径为4cm,下底半径为1cm.设滴管内每分钟应滴y滴药液，y滴药液的体积为y•V球二y•4JI3R3=y•4ji3(310)3=y•40n3(mm3)=Ji75y(cm3).瓶内药液的
