基于勒贝格测度和wigner变换混沌判定方法

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1、基于勒贝格测度和wigner变换混沌判定方【摘要】本文提出利用Wigner-Ville分布的良好频聚性，将混沌吸引子特性充分的展现出来，并结合勒贝格测度，对混沌状进行识别。避免了以往的混沌识别方法大多数依赖相空间重构、需要大量的实时数据等缺点。最后通过duffing系统验证了这种方法的有效性【关键词】混沌判定;Wigner-Ville分布；勒贝格测度0引言目前混沌判定的方法大致分为定性和定量两类，定性有：庞加莱截面法、频闪法、功率谱法、主分量分析、小波变换法、自相关函数法等等；定量的分析的方法有李亚普诺夫指数法、关联维数、K炳、替代数据法、参差诊断、Hust指数

2、、“搅拌诊断”等。其中交通流混沌现象的判断主要集中在采用替代数据法、G-P算法及其改进的Lyapunov指数法、Poincare截面法、功率谱法等方法。这些方法存在很多问题，比如需要选取具有量大、时间长的要求，不能满足交通系统短时性的要求，从而造像了交通信号控制的滞后性。Wigner-V订le分布具有良好的频聚性，在其频谱图上能够充分的表现出信号的频率和能量的分布。因此在信号时频分析领域得到了广泛的应用。混沌时间序列是由一个低维的具有非线性和确定性的动态系统产生的外表像随机信号但并非是随机信号的的时间序列。而Wigner-Ville良好的频聚性能够将混沌时间序列

3、的内部层次很好的展现出来，通过勒贝格测度对时间序列的混沌性进行定量的分析。本文将通过Duffing混沌动力学系统为例子，具体的阐明这种混沌判定方法。1Duffing系统的动力学特性Duffing振子在非线性动力学系统的研究中占有重要的地位。Duffing振子方程形式简单，却能呈现出丰富的非线性动态特性。这是由于Duffing方程等号右边加上外加强迫项后，系统的本征频率与外加周期强迫项的频率相互作用的结果。本文选取Holmes型Duffing振子作为混沌识别的系统模型，其一般形式为：■+k■-x3+x5二Ycos(ot)(1)设fd为系统的临界值(阀值)，fd/k

4、的解析值为一个常数，实验证明了阻尼比k的取值范围为0.2-0.5,在这里选取k=0.5,上式的状态方程形式如下：■=3y■=co[-ky+x・+x・+rcos(3t)](2)式中，Y为周期策动力的幅值，k为阻尼比，-xB+xH为非线性恢复力。Yeos(t)为周期策动力，系统频率为«=lrad/so取阻尼比20.5。在k固定的情况下，系统状态随Y的变化出现有规律变化:历经同宿轨道❷分叉❷混沌轨道❷临界周期轨道❷大尺度周期轨道状态。其各个状态的时域波形及相平面轨迹。分析析系统时域波形及相平面轨迹变化可知：(1)当Y=0时，系统相平面鞍点为(0,0),焦点为(±1,0

5、)。点(X,■)将最终停在两焦点之一。(2)当Y>0时，系统表现出复杂的动力学形态，当V较小时，相轨迹表现为Poincare映射意义下的吸引子，相点围绕一个焦点或另一个焦点做周期震荡。当Y超过一定阀值Yc时(Yc的大小可由Melnikov方法求出)。随着Y的增大，系统经历同宿轨道❷周期分叉直至混沌状态。这一过程随着V的变化非常迅速。V在很长时间内，系统都处于混沌状态。直到大于另一阀值Yd时，系统进入大尺度周期状态。此时相轨即将焦点❷鞍点团团围住，其对应的Poincare映射亦为不动点。2基于Wigner变换和勒贝格测度的混沌时间序列的识别方法本文选取-x・+x■

6、为恢复力项的Duffing振子方程■+kH-x3+x5=Ycos(st)(3)通过调整策动力的幅值Y使得系统分别处于混沌状态与大周期态采用四阶Runge-Kutta算法求出方程的解，对求解出来的x(t)做Wigner变换记为W(t,w)o其幅频如图lo(I)混沌态下的幅频图(II)周期态的幅频图图1Duffing系统混沌态和周期态的Wigner分布图中横坐标为频率，纵坐标为幅值。从图2.1可以很明显的看出混沌态与大周期态之间有很大的不同。混沌状态下，其wigner分布整体区域“平整”，但它具有一定的规律性，正如前文混沌性质所说的有一定的内在规律。而在大周期状态下

7、，其wigner分布图显示出一个明显的波峰，而其余部分相对平整。这充分说明了此时duffing系统进入到了一个统一的周期状态中。即大周期状态。但是这些频谱图无法更确切的描述与判定这两种状态。这就需要利用勒贝格测度对对其进行更详细的研究。在这里我们取：L(kO)={«的勒贝格测度II

8、W(3,t)

9、

10、2k0}(4)图2勒贝格测度根据勒贝格测度互不相交的可列个区间长度的并的可加性质，得：L(kO)二L0+L1+L2(5)对于kO的选取有很多种方法，而kO选取的合适与否直接决定着混沌判断的准确性。本文所采用的是取黄金分割点的办法，即kO=maxW(t,w)X0.618

11、n(6)这样就可以通过n