2015全日制硕士自命题考试科目真题871高等代数A卷

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1、宁波大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试题(A卷)(答案必须写在答题纸上)考试科目:高等代数科目代码：871适用专业:基础数学、应用数学一．填空题（每小题4分，共20分）1.设矩阵A234,B234，其中,,,,为四维123123123列向量，且

2、A

3、2,

4、B

5、3,则

6、AB

7、___________________.54322.多项式xx6x14x11x3的有理根有_________.121x113.设线性方程组23px23有无穷解,则p的值为____

8、____________.21px24334.设VP,线性变换Axxx(,,)(2x4,xx3x5,xx3),x1231312312则线性变换A在基(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)下的矩阵是___________45.在欧氏空间R中，(2,1,3,2),(1,2,2,1)的距离d(,)=__________.二．选择题（每小题4分，共20分）1.设A、B都为n阶非零矩阵,且AB=0,则()A.

9、A

10、0,

11、B

12、0B.

13、A

14、0,

15、B

16、0C.

17、A

18、0或

19、B

20、

21、0D.

22、A

23、0且

24、B

25、02.设线性方程组AX=b对应的齐次方程组为AX=0,则下列结论正确的是()A.若AX=0仅有零解,则AX=b有唯一解.B.若AX=0有非零解,则AX=b有无穷解.C.若AX=b有无穷解,则AX=0有非零解.D.若AX=b有无穷解,则AX=0仅有零解.3.设矩阵A与B相似，则下列说法不正确的是（）A.A与B有相同的特征值B.A与B有相同的特征向量C.

26、A

27、=

28、B

29、D.秩(A)=秩(B)第1页共3页宁波大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试题(A卷)(答案必须写在答题纸上)考试科目:高等代数科目代码：871适用

30、专业:基础数学、应用数学4.设A是n维线性空间V的线性变换，则下列结论正确的有几个______________.11.A(0)0当且仅当AVV.2.VVVV1212113.dimAVdimA(0)n,4.AVA(0)V.A.1个B.2个C.3个D.4个5.设A是n维欧氏空间V的一个线性变换．以下结论中不正确的是()A．A是V的正交变换当且仅当A保持向量的夹角不变；B．A是V的正交变换当且仅当A保持向量间的距离不变；C．A是V正交变换当且仅当A保持向量的长度不变；D．A是V的正交变换当且仅当A在任一标准正交基下的矩

31、阵是正交矩阵．三．计算题（共70分）321.(10分)已知多项式fx()x6x3kx8有重根,求k的值,并求fx()的根.1a111122a222333a32.(10分)计算行列式3nnnnanTTT3.(10分)设(1,1,1,3),(1,3,5,1),(3,1,10,15),123T(3,7,9,32)a线性相关4（1）求a的值.（2）求出它的秩和一个极大无关组，并把其余向量用这组极大无关组线性表示.x2x3x4x012344.(10分)已知齐次线性方程组x5x

32、3x3x01234(1)求出此方程组的解空间W.4(2)在R中求出W的正交补子空间W.第2页共3页宁波大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试题(A卷)(答案必须写在答题纸上)考试科目:高等代数科目代码：871适用专业:基础数学、应用数学5.(15分)设VL(,,,)是R上的一个4维线性空间,V上线性变换T在123410211213这组基下的矩阵为A,12552222(1)求T在基112,22,334,44下的矩阵.(2)求T的值域和核.6.(15分)222已知

33、二次型f(x,x,x)5x5xkx2xx6xx6xx的秩为2，求123123121323参数k及正交变换X=PY化二次型为标准形.四．证明题（每小题10分,共40分）1.已知不可约多项式px()是fx()的k重因式,(k1),(1)证明:()px是fx()的k1重因式.(2)回答此结论的逆命题是否正确?/2.设Amn是的实数矩阵,A为A的转置矩阵,证明:(1)(秩AA)=秩().A(2)如果秩()An,那么AA必是正定矩阵.m3.证明：n阶复数矩阵A的特征值全为零的充分必要条件是存在自然数m，使得A0.nn4.

34、设An是阶方阵,且A的秩为rSA,()BB

35、P,且AB0,nn(1)证明:()SA是P的子空间.(2)证明:SA()的维数=.nnr(-)第3页共3页