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《2017-2018学年高中数学人教a版选修4-1创新应用教学案:第二讲+一+圆周角定理+word版含答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、圆周芹定理[对应学生用书P18]1.圆周角定理文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半图形语言A©符号语言在G>0中,0C所对的圆周角和圆心角分别是ZBAC,ZBOC,则有ZBAC=^ZBOC作用确定圆中两个角的大小关系2.圆心角定理文字语言圆心角的度数等于它所对処的度数图形语言©符号语言A,B是OO上两点,则弧以B的度数等于ZAOB的度数作用确定圆弧或圆心角的度数3.圆周角定理的推论⑴推论1:同弧或等弧所对的圆周角it笺;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也±1等.(2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90。的圆周角所对的弦是直径.[说明](1)圆心角的度数和它所对
2、的弧的度数相等,但并不是“圆心角等于它所对的弧";(2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”."一[对应学生用书P18]与圆周角定理相关的证明[例1]如图,已知:ZvlBC内接于OO,D、E在=CE,Z1=Z2,求证:AB=AC.[思路点拨]证明此题可先添加辅助线构造等弦、圆周角定理及其推论证明.[证明]如图,延长AD.AE分别交OO于F、G,VZ1=Z2,:・BF=CG,跖=0F,・・・ZFBD=ZGCE.又•:BD=CE,:.HBFD竺/CGE,:.ZF=ZG,・・・2b=2c,:.AB=AC.[方法・规律・小结](1)有关圆的题目屮,圆周角与它所对的弧经常相互
3、转化,即欲证圆周角相等,可转化为证明它们所对的弧相等;要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等,这是证明圆川线段相等的常见策略.(2)若已知条件中出现直径,则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题.//〃/,医铉集^//////1.如图,04是<30的半径,以04为直径的OC与<30的弦AB相交于点D.求证:£>是AB的屮点.证明:连接OZXBE.E因为ZAD0=ZABE=90所以0D和BE平行.又因为O是A£的中点,所以D是A3的中点•42.已知4D是△ABC的高,AE是/MBC的外接圆的直径.求证:ZBAE=ZDAC.证明:连接BE,因为AE为直径,所以ZABE=90°.因
4、为AD是“ABC的高,所以ZADC=90°.所以ZADC=ZABE.因为ZE=ZC,所以Z5AE=90°~ZE,ZDAC=90°-ZC.所以zBAE=zDAC.3.已知屮,AB=AC,D是BC延长线上一点,AD交OO于E求证:ab2=adae.证明:如图,9:AB=ACf・••以B=^C.・•・^ABD=ZAEB.在/VIBE与△ADB中,ZBAE=ZDAB,ZAEB=ZABD,・・・AABE^AADB.ABAE・°・即看点二利用圆周角进行计算[例2]如图,已知BC为半OO的直径,AD丄BC,垂足为DBF交AD于E,且4E=BE.⑴求证:以〃=4;3(2)如果sinZFBC=§,AE=4逅,
5、求AD的长.[思路点拨]BC为半OO的直径,连接AC,构造RtAABC.[解]⑴证明:如图,连接AC.CVBC是半OO的直径,・・・ZBAC=90°,又4D丄BC,垂足为D,.・・Z1=Z3.在AAEB中,AE=BE,AZ1=Z2.AZ2=Z3,A~B=A~F.(2)设DE=3x,・.・AD丄BC,sinZFBC=
6、,BE=5x,BD=4x.•・・AE=BE,:.AE=5x,AD=Sx.在RtAADB中,ZADB=90。,AB=4逅,・(8a-)2+(4x)2=(4V5)2,解得x=lf:.AD=&[方法■规律■小结]与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算,不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周
7、角的度数来求相关的角、线段,有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算.//////^淀漳厠7〃〃B.25°3.如图,LABC内接于OO,OD丄BC于D,ZA=50°,则ZOCD的度数是()A.40°C.50°D.60°解析:连接OB因为ZA=50°,所以弦BC所对的圆心角ZBOC=100°,ZCODpZBOC=50。,ZOCD=90°-^COD=40°.答案:A5•如图,AABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明:ZBEsZDC;⑵若△ABC的面积S=^ADAEf求ZBAC的大小•解:(1)证明:由已知条件可得ZBAE=ZCAD.因为ZAEB与Z4CB是同弧上的圆周角,所
8、以ZAEB=ZACD.故厶ABEs/ADC・(2)因为△ABEs/^ADC,ARAF)所以AC,即又5=*ABACsinZBAC,且S=^ADAEf所以ABACsinZBAC=ADAE.则sinZBAC=1.又ZBAC为三角形内角,所以ZBAC=90°.[对应学生用书P20]一、选择题1.如图,在中,ZBOC=50°,则ZA的大小为()A.25°B.50°C.75°D.100°解析:由圆周角定理得ZA=*Z