2017-2018学年高中数学人教a版选修4-1学案创新应用第二讲 一 圆周角定理含解析

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1、一圆周角定理[对应学生用书P18]1．圆周角定理文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半图形语言符号语言在⊙O中，所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC，∠BOC，则有∠BAC＝∠BOC作用确定圆中两个角的大小关系2．圆心角定理文字语言圆心角的度数等于它所对弧的度数图形语言符号语言A，B是⊙O上两点，则弧的度数等于∠AOB的度数作用确定圆弧或圆心角的度数3．圆周角定理的推论(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对

2、的弦是直径．[说明]　(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”；(2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”．9[对应学生用书P18]与圆周角定理相关的证明[例1]　如图，已知：△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2，求证：AB＝AC.[思路点拨]　证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件，再由圆周角定理及其推论证明．[证明]　如图，延长AD、AE分别交⊙O于F、G，连接BF、CG，∵∠1＝∠2，∴＝，∴BF＝CG，＝，∴∠FBD＝∠GCE.又∵BD

3、＝CE，∴△BFD≌△CGE，∴∠F＝∠G，∴＝，∴AB＝AC.(1)有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等；要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相等的常见策略．(2)若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题．1.如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.求证：D是AB的中点．证明：连接OD、BE.因为∠ADO＝∠ABE＝90°，所以OD和BE平行．又因为O是AE的中点，所以D是AB的中点．92

4、．已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．求证：∠BAE＝∠DAC.证明：连接BE，因为AE为直径，所以∠ABE＝90°.因为AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90°.所以∠ADC＝∠ABE.因为∠E＝∠C，所以∠BAE＝90°－∠E，∠DAC＝90°－∠C.所以∠BAE＝∠DAC.3．已知⊙O中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，AD交⊙O于E.求证：AB2＝AD·AE.证明：如图，∵AB＝AC，∴＝.∴∠ABD＝∠AEB.在△ABE与△ADB中，∠BAE＝∠DAB，∠AEB＝∠ABD，∴△ABE∽△ADB.∴＝，

5、即AB2＝AD·AE.利用圆周角进行计算[例2]　如图，已知BC为半⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于E，且AE＝BE.(1)求证：＝；(2)如果sin∠FBC＝，AB＝4，求AD的长．[思路点拨]　BC为半⊙O的直径，连接AC，构造Rt△ABC.[解]　(1)证明：如图，连接AC.∵BC是半⊙O的直径，9∴∠BAC＝90°，又AD⊥BC，垂足为D，∴∠1＝∠3.在△AEB中，AE＝BE，∴∠1＝∠2.∴∠2＝∠3，即A＝A.(2)设DE＝3x，∵AD⊥BC，sin∠FBC＝，∴BE＝5x，BD＝4x.∵AE＝BE，∴

6、AE＝5x，AD＝8x.在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AB＝4，∴(8x)2＋(4x)2＝(4)2，解得x＝1，∴AD＝8.与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算．4．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(　　)A．40°　　　　　　　　　　　B．25°C．50°D．60°解析：连接OB.因为∠A＝50°，所以弦BC所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝

7、90°－∠COD＝40°.答案：A5.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；9(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因为△ABE∽△ADC，所以＝，即AB·AC＝AD·AE.又S＝AB·AC·sin∠BAC，且S＝AD·AE，所以AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1.又∠BAC为三角形内角，所以∠BA

8、C＝90°.[对应学生用书P20]一、选择题1．如图，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠A的大小为(　　)A．25°　　　　　　　　B．50°C．75°D．100°解析：由圆周角定理得∠A＝∠BOC＝25°.答案：A2.如图所示，若圆内接四边形的对角