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《第03章导数及其应用第2节第05课时利用导数研究函数的零点问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第五课时利用导数研究函数的零点问题(对应学生用书P40)TOOJ利用图象研究函数的零点个数问题［明技法］含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后,用X表示参数的函数，作出该函数图彖，根据图彖特征求出参数的范围.［提能力］【典例】己知惭数/(x)=6/x3—3x2+1,若/(x)存在唯一的零点Xo，且x()>0,则实数a的取值范围是()A.(2,+°°)B.(-oo,-2)C.(1,+«)D.(―8,-1)解析：选B法一由题意oHO,由f(x)=3a?—6x=0得x=0或x=~.当q>0时在(一8,0)和(丫，+吋上单调递增，在(0,丫)上单调递减
2、.且/(0)=1>0,故/(X)有小于0的零点，不符合题意，排除A,C.当avO时，要使勺>0且唯一，只需.场>0,即/>4,a<—2f故选B.法二/(x)有唯一正零点x(),等价于方程67.Y3—3x2+1=0有唯一正根x(),即■—占有唯一正根Xo.人r313(1—x)(l+x)令g(x)=--p,g(x)=尹,「•g(兀)在(一8,—1)上递减，(一1,0)上递增，(0,1)上递增，(1,+°°)上递减.又g(-l)=-2,g(l)=2,且当xv—1时，g(x)vO,当Q1时，g(x)>0,・・・g(x)的大致图象如图：・・・直线y=a与y=g(x)有唯一交点，且横坐标心>0
3、,只需a0).(1)求函数/⑴的极值；(2)若〃=2016，且函数尹=2qx—/(x)有唯•一零点x(),求x()与q・解：(1)几x)=x2—(—l)"2alnx的定义域为(0,+«>),f(x)=2x—(_?巴〃为奇数时，f(x)=2x+—>0,函数在(0,+*)上单调递增，无极值；”为偶数时，令f(x)=2x-v=0,则xW(0,&)时，f(x)V()；xW(込，+8)时，f(X)>0,函数/(x)无极大值，有极小值fiy［a)=a—aa;(2)/7=2016,若
4、函数y=2ax—f{x)有唯一零点，即g(x)=—x2+2ax+2alnx=0有唯一解.令g‘(兀)=0,得x2—ax—a=0,a+la2+4a•・・a>0,x>0,.-.Ao=—,当xe(0,x())时，gf(x)V0,g(x)在(0,xo)上是单调递减函数；当xe(x(),+8)时，g‘(x)>0,g(x)在(兀()，+8)上是单调递增函数.・••当X=X()时，g'(兀0)=0,g(x)min=g(x()),・・・g(x)=0有唯一解，・•・g(xo)=o.即x舟一ax。一a=0,—菇+2axo+2alnx()=0两式相加得2axo+ax()—a=Of•・1>0,・・・
5、21nx()+xo—1=O,①设函数/?(x)=21nx+x—1,・・•在x>0时/?(x)是增函数，/?(x)=0至多有一解.V/?(l)=(),・・・方程①的解为x()=l,即g+号+4"=］,解得a=iOMg)利用函数的性质研究函数零点［明技法］利用两数性质研究函数零点，主要是根据两数最值或极值的符号确定函数零点的个数,此类问题求解过程中可以通过数形结合的方法确定存在零点的条件.［提能力］【典例】(2018-阜阳模拟)设函数J{x)=^+ajc+hx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0,人0))处的切线方程；(2)设a=b=4,若函数/(X)有三.个不同零点，求c的取值范圉
6、.解：(1)由f(x)=x3+ax1+bx+cf得/'(x)=3x2+2ax+b.因为_A0)=c,f(0)=b,所以曲线y.=f{x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=bx+c.(2)当a=b=4时，/(x)=?+4x2+4x+c,所以/'(x)=3x2+8x+4.令/(x)=0,得3x2+8x+4=0,“2解得x=—2或x=_亍./(X)与/'⑴在区间(一8,+8)上的情况如下:2e22-3eo),使得f{x1.)=/(X2)=/(兀3)=0.由/(x)的单调性知，当且仅当c€(0,韵时，函ft/(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.X(一8,-2)-2(-2‘Y)
7、2(Y'+8)f(x)+0——0+金)C32c_27所以，当c>0且c—芳V0时，存在x)e(-4,-2),［刷好题］2(2018•广州模拟)设函数/x)=y-Alnx,k>0.⑴求.心)的单调区间和极值；(2)证明：若人兀)存在零点，则./(x)在区间(1,证］上仅有一个零点.Y2kx1—k(1)解：由kx伙>0),得x>0且广(x)=x—=・ZXX由/(x)=0,解得％=讥(负值舍去)..心)与/'(兀)在区间(0,+8)上的变化情况如下：.¥(0,应,+°°
