2011~2009年浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案

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1、2011年浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1.己知&G[—则J1—sin20—Jl+sin2&可化简为（）42A.2sin0B.-2sin0C.-2cos&D.2cos&2.如果复数（d+2j）（l+i）的模为4,则实数a的值为（）A.2B.2a/2C.±2D.±2^23.设A,B为两个互不相同的集合，命题P：xgAnB,命题q：xgA或兀wB，则p是q的（）A.充分且必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分且非必要条件4.过椭圆—+/=1的右焦

2、点鬥作倾斜角为45°弦AB,则为（）5.函数/(%)=1—5"5—1x>0~,则该函数为（x<0奇函数B.单调递减函数、偶函数偶函数D.单调递减函数、6.A.单调增加函数、C.单调增加函数、设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（A奇函数）2222311正视图5龙A.44-——2B.4+辺2侧视图C.4+—2D.4+龙7.某程序框图如右图所示,现将输出（x,y）值依次记为：（画,必）,（兀2,%），•••，（和几），…;若程序运行屮输出的一个数组是（兀-10）,则数组屮的兀=（）A-64B・32C.16D.88.在平面区域{(x,y)

3、

4、x

5、

6、y

7、

8、则动点P(a,b)所形成平面区域的面积为()A.4B.8C.16D・3271jrjr9.已知函数f(x)=sin(2x——)一加在0,—上有两个零点，则m的取值范围62A.「1J「1JBC.D.k'110.已知aw[—l,l],则F+(d—4)兀+4—2。>0的解为()A.兀>3或B.x>2或xvlC.x>3或xvlD.1

9、^),R,则a-b的取值范围为—。14.直三棱柱ABC-A^Q,底面AABC是正三角形，P,E分别为CC,±的动点(含端点)Q为BC边上的屮点，且PD丄则直线AP.PE的夹角为_。15.设兀丿为实数，贝【Jmax(x2+y2)=□5x2+4y2=10j16.马路上有编号为1,2,3,…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有种。(用组合数符号表示)17.设x,y,z为整数,且x+y+z=3,x3+y3+z3=3,贝0%2+y2+z2=_o三、解答题(本大题共3小题，每小题17分，共计51分)

10、18.设«<2,求y=(兀一2)冈在[⑦2]上的最大值和最小值。19.给定两个数列{xtl},{yn}满足X。=儿=1,无“=—(h>1)2+S儿=儿j(,?>1)。证明对于任意的自然数n,都存在自然数九，使得=xjno1+2儿_i20.己知椭圆过其左焦点好作一条直线交椭圆于A,B两点，D(g,0)为片右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,No若以MN为直径的圆恰好过舀，求a的值。2011年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分标准1.解答：因为［乎^乎〕，所以J—sin2&-Jl+sin2&=

11、cos&一sin&

12、-

13、cos&+sin&=2cos&。正确答案为D。2.解答：由题意得

14、、位•如+4=4»=±2。正确答案为C。3.解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。4.解答：椭圆的右焦点为(2,0),则弦AB为y=X-,代入椭圆方程得3x2-4x=0=>=0,x2=y=>AB=^2(x,-x2)2=~Y~°正确答案为C。5.解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。7T6.解答：该儿何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分(一)，所以该儿2TT5龙何体的体积为2x2xl+3^-一=4+—o正确答案为A。227.答案经计算x=32o正确答案为Bo8.解答：平面区域｛(x,y)

15、

16、x

17、

18、y

19、

20、—1),(—1,1),(1,—1),(1,1)满足ax-2by<2,即有Q+2bW2,a-2bW2,—a-2b52,-d+2b52,由此计算加在［o,彳］上有两个交点，所以动点P(a,b)所形成平面区域的面积为4。正确答案为Ao9.解答:7F问题等价于函数/(x)=sin(2兀一一)与直线y=6m的取值范围为丄，1]。正确答案为C。1_2丿10.解答：不等式的左端看成d的一次函数，/@）=（兀一2）。+（兀2—4兀+4）由/（-1）=x2-5x+6>0,/