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1、专题15：函数关系式的建立方法探讨“模型思想的建立是学生体会和理解数学为外部[比界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽彖出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题屮的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习冇助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”这是《课标》关于模型思想的一段描述。因此，各地中考试卷都有“方程（组）、不等式（组）、函数建模及其应用‘‘类问题，专题5和6已经对方程（组）、不等式（组）的建模及其应用进行了探讨，本专题再对函数建模及其应用
2、进行探讨。结合2012年全国各地屮考的实例，我们从下而五方血•进行函数关系式建立方法的探讨:（1）应用待定系数建立函数关系式；（2）应用等量关系建立函数关系式；（3）应用儿何关系建立函数关系式；（4）应用分段分析建立函数关系式；（5）应用猜想探索建立函数关系式。一、应用待定系数建立函数关系式：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。这种方法适用于已知了函数类型（或函数图象）的一类函数建模问题。确定宜线或1111线方程就是要确定方程屮x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在I
3、lli线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数，写出表达式。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数,前面三种分别可设y=kx,尸kx+b,y=-的形式（其中k、b为待定系数，且kHO）。而二次函X数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c（a>b、c为待定系数），顶点式y=a（x—h）2+k（a>k^h为待定系数），交点式y=a（x—xi）（x—x2）（a、X
4、、x?为待定系数）三类形式。根据题意（可以是语
5、旬形式，也可以是图象形式），确定出a、b、c、k、xi、x?等待定系数，求岀函数解析式。典型例题：例1：（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P（a-1,2a-3）都在直线1上,Q（m,n）是自线1上的点，贝iJ（2m-n+3）2的值等于▲.【答案】16。【考点】待定系数法，肓线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。【分析】・・•由于a不论为何值此点均在直线1上，・••令a=0,则P]（-1,-3）；再令a=l,则P2（0,一1）。设直线1的解析式为y=kx+b(k#0),-k+b=-3b=-lk=2b=-l・•・肓线1的解析式
6、为：y=2x-loVQ(m,n)是直线1上的点，.*.2m—l=n,即2m—n=l。・・・(2m—n+3)2=(1+3)2=16。例2：(2012山东聊城7分)如图，直线AB与x轴交于点A(1,0),为y轴交于点B(0,-2).(1)求直线AB的解析式；(2)若直线AB上的点C在第一象限,且Saboc=2,求点C的坐标.【答案】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,•・•直线AB过点A(1,0)、点B(0,-2),k=2b=-2・・・直线AB的解析式为y=2x-2。(2)设点C的坐标为(x,y),*•*Saboc—2,—*2ex
7、—2,解得x—2o2・・・y二2X2・2=2。・••点C的坐标是(2,2)。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】(1)设直线AB的解析式为y二kx+b,将点A(1,0)、点B(0,-2)分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式。(2)设点C的坐标为(x,y),根据三介形面积公式以及Saboc-2求出C的横坐标，再代入肓•线即可求岀y的值，从而得到其坐标。例3：(2012湖南岳阳8分)游泳池常需进行换水清洗，图屮的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水--清洗--灌水”中水最y(n?)与时间t(min)之间的
8、函数关系式.（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（点）与时间t（min）的函数解析式;（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为:y=kt+b,・・•图象经过(0,1500),(25,1000),b=1500，解得:<25k+b=1000Iccb=i；00E水阶段解析式为W2（^500。清洗阶段:y=0o灌水阶段：设解析式为：y二at+c,・••图象经过(195,1000),(95,0),~00°'解得••95a+c=0二爲.••灌水阶段解析式为：円叶950o（2）J排水阶段解析式为:
9、201+1500,A令y二0,即0=-20t+1500,解得:t=75o・•・排水时间为75分钟。清洗时间为：95-75=20（分钟）,•••根据图彖川•以得出游泳池蓄水量为1500A1500=10t-950,解得：t二
