[宝典]数学思想方法在解不等式中的应用(朱木良)

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1、解不等式中的数学思想方法云霄朱木良解不等式几乎贯穿整个高中数学的学习过程。解不等式是根据不等式的同解原理，逐步代换，化简不等式的过程。解不等式是研究函数和方程的重要工具，我们应掌握各类不等式的特点及其常规解法和思路，另外还要注意应用数学思想方法巧解不等式。数学思想指的是数学意识或数学思维，也是对数学规律的理性认识。而数学方法是人们以数学事实进行探索的一种手段，它们密切相关且不可分割的。所以我们把它称为数学思想方法•在解不等式过程中，恰当的运用思想方法，能够起到事半功倍，化繁为简的效果。一、函数与方程思想函数思想就是合理利用函数的概念和性质分析解决问题。例1.1求a,b的值，使得关于x的

2、不等式a疋+bx+/-1<0的解集分别是：(1)[-1,2];(2)(-oo,-1]U[2,4-oo)；(3){2};⑷[―1,+8).分析：不等式的解集与方程的根、函数的图象和性质有着密切的联系。本题a,b都是未知的，无法直接确定不等式的解集，要把它与方程的跟及函数图像联系起来，互相转化和互相利用。解⑴由题意可知，&>0且-1,2是方程ax2+bx+6/2-l<0的根，所以a>0>⑵同（D方法娄KlCii瞬儿可徐l=■血b=l+^.(3)由题意知，2是方程a/+bx+/_i=o的根，所以4a+2b+a2-l=0.①又｛2｝是不等式2+bx+d2—1<0的解集，所以=b4-4a(aa-

3、1)=0.②@ffa=2+5/5,b=-8-4^5・(4)由题意知,a=0.b<0,且-1是方程bx+°2-1=0的根，即-b+/_i=o,所以a=0,b=-l例1.2设实数a>1>b>0,问a,b满足什么关系时，不等式lg(ax-bx)〉0的解集是(1,+8).分析：欲使不等式的解集为(1,+8)，只需f(X)=lg(ax-bx)在其定义域上是增函数，且f(1)=0.解：设f(x)=lg(ax-bx),先确定X的取值范围.ax-bx〉0,即(£)x>1,且£>1,0b二x€(0,+8).依题意，只需f(x)是(0,+8)上的增函数，且f(1)=0.•・・a〉l〉b〉0,「•aX和-b

4、'都是(0,+°°)上的增函数.从而ax-bx亦是(0,+8)上的增函数.故f(x)=lg(ax-bx)是(0,+8)上的增函数.又f(1)=lg(a-b),令lg(a-b)0，得a-b=l因此a,b满足的关系式为a=b+l说明：用函数的形式把数量关系表示出来，加以研究，解决问题。二、分类讨论思想解含有参数的不等式时，需根据参数的不同取值情况进行分类讨论。分类讨论的实质分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决。分类讨论的原则是不重复、不遗漏。分类讨论的方法是确定讨论范围，确定分类标准，逐类进行讨论。例2设函数f(x)=10珈尢「—力+2@>0且&工］)l+2ax⑴求f(x)的

5、定义域；(2)b>l时，求使f(x)>0的所有x值。分析：⑴由于X—2x+2>0恒成立，・・・l+2ax>0，下面再讨论；(2)由f(x)>0,得x2-2(1+a)x+1>0,再分△<0与△》0讨论，或由△=0,得a=-2和a=0o下面再分a<-2,a=-2,-20讨论，这里选用后一种方法讨论。解：(1)x2-2x+2=(x-1)2+1>0.l+2ax>0.若a=0,则f(x)的定义域为R;若a>0,则f(x)的定义域为(-丄，2a+8)；若a<0,则f(x)的定义域为(一8，-丄).2a⑵当b>l时，在f(x)的定义域内，f(x)>0等价于x2-2x+2>l+2

6、ax,即x2-2(1+a)x+l>0.令z=4a(a+2)=0,得a=-2和a=0.①当a<-2时,A>0.x2-2(1+a)x+1=0两根为Xi=l+a-J/+2。，X2=l+a+J/+2d.Xi0时，A>0,x2>Xi>0>-丄.2d・一l+a++2。・2a评注:本题中分几个不同层次讨论参数的变化情况，每一层次

7、的划分是在变形或解题过程中，在探明“方向”后再进行分类讨论.三.换元思想由不等式的结构特征，引入一个新的变量替换原来的式子，使式子由复杂变得简单，让复杂的关系变得简明扼要，让隐含的关系直观明了。例3.1:解不等式丄w年二Is丄。12xVx+16分析：若试图将不等式化为基本形式求解，须先去分母，有x<0JX+1-1T,且xhO,・・・t