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1、子女身高对父母身高的再回归分析摘要: 本文通过抽样调查及统计分析,建立了父母身高与子女身高的两个回归方程,揭示了父母身高与子女身高之间显著的线性关系.从分析的结果可以看出,不同家庭的子女身高有回归其群体平均身高的倾向.关键词: 父母身高;子女身高;回归分析1 引 言 早在19世纪后期,英国生物学家Galton在研究父母身高与子女身高的关系时,观察了1078个家庭中父亲、母亲身高的平均值x和其中一个成年儿子身高y,建立了一个线性方程y=33.73+0.516x通过这个方程分析出,子女身高有回归平均身高的倾向,首次提出
2、了“回归”一词.多少年来,人们利用“回归”的思想和方法在自然科学和社会科学的许多领域通过建立回归模型,揭示了一个又一个问题的内在规律,并使其得到了深入广泛的应用,从而也推动了科学和社会的进步.既然回归问题追溯到源头是研究关于父母身高与子女身高的关系问题,那么,时隔一百多年后的今天,人类的物质生活和精神生活都发生了巨大的变化,父母身高与子女身高之间将呈现出一种什么样的关系呢?在现实生活中,人们都知道父母身高对子女身高是有影响的,但是父亲与母亲的影响分别有多大?对儿子或对女儿的影响程度是否一样?我们能否以定量的形式回答这个
3、问题呢?具体地讲,我们是否也可以利用回归的思想和方法,进一步揭示出父亲身高、母亲身高与子女身高之间量化关系的秘密,帮助那些关注自己后代身高的年轻父母们进行早期的预测;对那些未婚青年男女在选择理想配偶时提供一种科学的参考依据.因此,今天我们重新回味并研究“回归——父母身高和子女身高的关系”问题,仍具有一定的研究价值.2 数据采集最近,我们就父母身高对子女身高影响问题进行了抽样调查.我们对所调查的家庭提出了明确要求:①该家庭有一个或多个子女;②每个家庭成员身体健康,发育正常,无先天性和遗传性疾病,无残疾;③子女的年龄均在2
4、3岁(含23岁)以上,23岁以下者剔除.我们注意到调查的范围尽可能广泛,有机关干部、职员、工人、农民、城市居民、军人、大学生等,并特意选择了一所面向全国招生的军队院校的应届毕业生进行抽样,他们来自全国各地,家庭背景也相对复杂一些,这使得样本更具有代表性.在发放的460张调查表中,收回410张.按照事先的规定,经数据筛选,有290个家庭符合要求,其中在对“子”“女”的统计中,“儿子”有405人,“女儿”有270人.利用二元回归分析的方法,通过建立父母身高与子女身高的线性回归方程了定量的分析.3 方 法1)回归平面方程的
5、建立设X1为父亲身高,X2为母亲身高,Y为儿子(或女儿)身高.单位:厘米个家庭的数据中,设第i个家庭中父亲身高为X1i,母亲身高为X2i,儿子Yi,该家庭中父亲、母亲、儿子(或女儿)身高有以下关系式:Yi=Β0+Β1X1i+Β2X2i+Εi, i=1,2,3,…,n 利用最小二乘法得到正规方程组AΒ=B(1)nX1iX2iYi∑∑∑Β02其中A=X1iX1iX1iX2i,B=X1i,=1∑∑∑∑ΒΒ22X2iX1iX2iX2iX2i∑∑∑∑Β-1 当系数矩阵A可逆时,Β=AB.为了使正规方程组求解简单些,将(1)进
6、行初等行变换得到1X1X2Β0?Y0l11l12Β1=l1y0l21l22Β2l2y11其中Xk=Xki,Y=Yi,lkt=XkiXti-nXkXt,lky=XkiYi-nXkYi,k∑?∑∑∑nn=1,2,t=1,2.l11l121l1y-1当L=可逆时,得以==L,0=y-1X1-2X2.从而得到经l21l22ΒδΒΒδδ2l2yΒδθΒδΒδ验回归平面方程Yδ=Βδ0+Βδ1X1+Βδ2X2(2)这里Βδ1,Βδ2称为回归系数.ΒΒΒΕΒΒΒΒΒΒΒ?ΒΒ?ΒδΒΒδδΒδθΒδΒδδΒδΒδΒδΒδΒδ2)线性
7、回归方程的显著性检验采用方差分析的方法,对所得线性回归方程显著性进行检验.计算F值,否定域为F>FΑ(2,n-3).3)回归系数的显著性检验H0∶Βj=0,j=1,22EΒδj=Βj,DΒδj=cjjΡ,j=1,2剩-1Q其中cjj为矩阵C=L对角线上的元素.Ρδ3=n-3是标准误差Ρ的无偏估计.选用统计j量Tj=Βδ～t(n-3),j=1,2,否定域为T>t2Α(n-3).cjjΡδ3ΒδΒδδ??δδδδ回归方程特别显著且回归系数Βδ1,Βδ2均显著地不为零,女儿身高和父母身高关系.因此,女儿身高对父母身高的回归方
8、程(7)也是有意义的.同样当某一家庭中父亲身高x10、母亲身高x20已知时,其女儿身高的点估yδ=47.140+0.249x10+0.455x20得到,并且由此可以得到儿子身高期望值的置信概率分别为95?及99?的预(yδ0-7.792d,yδ0+7.792d)及(yδ0-11.643d,yδ0+11.643d其中d由(5)得到.
