概率统计第四章

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1、习题四解答1.下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。（1）；（2）；（3）；（4）。解要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证是否满足下列二个条件：其一条件为，其二条件为。依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为。2.试确定常数，使成为某个随机变量X的分布律，并求：；。解要使成为某个随机变量的分布律，必须有，由此解得；（2）（3）。3.一口袋中有6个球，在这6个球

2、上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。解X可能取的值为-3，1，2，且，即X的分布律为X-312概率X的分布函数0=14.一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。解依题意X可能取到的值为3，4，5，事件表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即；事件表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3

3、号球中任选，此时；同理可得。X的分布律为X345概率X的分布函数为015.在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。解依题意X服从参数的二项分布，因此，其分布律，具体计算后可得X012345概率6.从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。（1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；（2）每次取出的产品都不放回这批产品中；（3）每次取出一件产品后

4、总是放回一件正品。解（1）设事件表示第次抽到的产品为正品，依题意，相互独立，且而即X服从参数的几何分布。（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，X的分布律为X1234概率（3）X可能取到的值为1，2，3，4，所求X的分布律为X1234概率由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。7.设随机变量，已知，求与的值。解由于，因此。由此可算得即解得；此时，。8.掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。解一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率

5、为，因此X服从的二项分布，即由此可得X的分布函数0，，，，，1，9.某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？解设至少要进件物品，由题意应满足即查泊松分布表可求得。10.有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。解设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从的二项分布，即，由于较大，较小，因此也可以近似地认为X服从的泊松分布，即，所

6、求概率为11.某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。解设事件表示第次试验成功，则，且相互独立。随机变量X取意味着前次试验未成功，但第次试验成功，因此有所求的分布律为X12……概率0.75……12.设随机变量X的密度函数为，0，其他，试求：（1）常数；（2）X的分布函数。解（1）成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为；其二为，因此有，解得，其中舍去，即取。（2）分布函数==13.设随机变量X的密度函数为，求：（1）系数；（2）；（3）X的分

7、布函数。解（1）系数必须满足，由于为偶函数，所以解得；（2）；（3）====14.证明：函数（为正的常数）为某个随机变量X的密度函数。证由于，且，因此满足密度函数的二个条件，由此可得为某个随机变量的密度函数。15.求出与密度函数对应的分布函数的表达式。解当时，当时，当时，综合有16.设随机变量X在上服从均匀分布，求方程有实根的概率。解X的密度函数为；其他.方程有实根的充分必要条件为，即，因此所求得概率为。17.设某药品的有效期X以天计，其概率密度为;0，其他.求：(1)X的分布函数；(2)至少有200天有效期的概率。解(

8、1)==(2)。18.设随机变量X的分布函数为求X的密度函数，并计算和。解由分布函数与密度函数的关系，可得在的一切连续点处有，因此所求概率；。19.设随机变量X的分布函数为，求(1)常数；(2)；(3)随机变量X的密度函数。解：(1)要使成为随机变量X的分布函数，必须满足，即计算后得解得另外，可验证当时，也满足分布函