【7A文】数值积分.ppt

《【7A文】数值积分.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、数值积分引言在实际问题中，往往会遇到被积函数f(x)的原函数无法用初等函数来表示，或函数只能用表格表示，或有的虽然能用初等函数表示，但过分复杂，所以这些情形都需要去建立定积分的近似计算公式。在数值积分方面，最容易得到的是用f(x)的代数插值函数p(x)来代替它，即：将积分区间细分，在每小区间内用简单函数代替复杂函数，这是数值积分的基本思想。对替代函数的要求：1：精度要高。2：计算量要小。求积系数求积节点有关代数精度问题的处理定义：若求积公式,对一切不高于m次的多项都准确成立，而对于m+1次多项式等号不成立，则称此公式的代数精度为m.代数精度越高，公式越精确。代数精

2、度的求法：从ƒ（x)=1,x2,x3…依次验证求积公式是否成立，若第一个不成立的等式是xm,则其代数精度是m-1.例题举例：例1：选择常数a，使∫ab(x)dxh[(0)+(h)]/2+ah2[’(0)+’(h)]的代数精度尽量高，并求其次数。解：取(x)=1,则上述求积公式左=h，右=h（1+1）/2=h，故左=右；取(x)=x,则左=h2/2，右=h（0+h）/2=h2/2，故左=右；取(x)=x2，则左=h3/3，右=h（0+h2）/2+ah2（-2h）=h3/2-2ah3令h3/2-2ah3=h3/3，得a=1/12再取(x)=x3，

3、则左=h4/4，右=h（h3)/2+h2(-3h2)/12=h4/4;若再取(x)=x4时，左=h5/4，右=h5/2+h2(-4h3)/12=h5/6左右,所以当取a=1/12时，求积公式具有3次代数精度。例2：设有∫-11(x)dxA0(-1)+A1(0)+A2(1)成立，决定A0、A1、A2，使上述代数精度尽可能高，并求出。解：设(x)=1，x，x2，则有A0+A1+A2=2（1）-A0+A2=0（2）A0+A2=2/3（3）三式联立，得A0=1/3，A1=4/3，A2=1/3；则∫-11(x)dx=[(-1)+4(0)+(1)]/3

4、取(x)=x3，左=右=0；但在(x)=x4时，左=∫-11x4dx=2/5右=2/3所以具有3次代数精度。一、牛顿—柯特斯求积公式将积分区间[a,b]n等分，其节点xi为xi=a+ih,i=0,1,2,…,n式中h=(ba)/n。在n+1个节点上建立插值于f(x)的次代数多项式（拉格朗日插值公式）Pn(x)，并引进变换则有于是插值型积分公式为(1.1)(1.1)式称为牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式。j为求积系数，Cj(n)称为柯特斯系数。这里Newton-Cotes公式柯特斯系数n11/21/221/64/61/631/83/83/8

5、1/847/9016/452/1516/457/905…　　…　　　…　　　…　　…　　…下面分别考虑几种特殊请况。（一）梯形公式若积分区间[x0,x1]两端点处的函数值f0,f1为已知，可应用线性插值公式P1(x)在区间[x0,x1]上的积分来近似,这就是(1.1)式中n=1的情况。当n=1时，C0(1)=1/2，于是有(1.2)(1.2)式称为梯形公式。积分的这种近似计算方法称为梯形法则。它的几何意义是用四边梯形x0ABx1的面积(x1x0)(f0+f1)/2代替曲边梯形的面积。xy0ABy=P1(x)y=f(x)f0f1x0x1图1.1当n=1时，为梯形公

6、式（二）辛卜生(Simpson)公式如果已知步长的三个等距节点x0

7、x0,x3]内取n=3的等间距插值多项式P3(x)进行积分，则将得到(1.4)当n=2时，为抛物线公式xyx0x2x1y=P2(x)y=f(x)0图1.2误差分析1,梯形公式的误差取决于插值多项式P1(x)的误差。根据,R1(x)为插值余项,可得于是得到梯形公式的截断误差为上式中，(xx0)(xx1)在区间[x0,x1]内不会改变符号，如果f"(x)在区间内连续，则由积分的广义中值定理，在[x0,x1]内至少存在一个点，使得所以，带误差项的梯形公式是（二）辛卜生(Simpson)公式的截断误差根据多项式插值的误差公式，截断误差为由于因子(xx0)(xx1

8、)(xx