空间梁精确位移模型的分析研究三——有限元方程的建立和求解

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1、第七届全国现代结构工程学术研讨会摘要：可行性。关键词：空间梁精确位移模型的分析研究(三)1——有限元方程的建立和求解黄榜新钱若军同济大学建筑工程系，上海20092)袁行飞(浙江大学土木系，杭州310027)本文从虚功方程入手．建立了非线性有限元求解方程。井编制了丰H应的程序，使用该程序求解的算例验证本方法的本构关系，虚功方程一、概述在弹性体系的求解中，采用能量原理得到问题的控制力程是最一般的方法，因为能量原理是适合自然界普遍原理。在固体和结构的分析中，主要是引用最小势能原理和功能互等原理，所以一般做法是建立体系的势能，在只考虑机械能，不考虑光电等能量时，体系的能量包括体系的势能和外

2、力功，写出体系总势能后就可以引用最小势能原理或者驻值原理得到体系的平衡方程。体系总势能原理的建屯是参照势能的零状态，假定为初始状态，而另一做法是建立在平衡状态，根据功能互等原理，建立体系的能量方程，当然还有其他的表述方式。以能量的形式表述的系统的控制方程是结构理论分析中所要确立的重要方面。但足，在有限单元法中，基本方程可以通过虚功原理、总势能驻值(极值)原理、卡斯提也诺原理和能量泛函变分原理来推导。由于虚功原理既适用于线性问题，也适用于非线性问题，所以我们这里有限元方程的建立也是基于虚功原理的基础上的。二、大变形的弹性本构关系几何非线性问题，不考虑材料性质的非线性，构方程类似，所不

3、同的仅是应在现时物形中列出。仃=D出￡因此，所涉及的纯属几何非线性的本构方程与线弹性本所咀根据已有的资料得出：其中．D。表示大变形情况下的任一点的应力应变弹性本构关系，在空间杆系结构中，空『口1粱单元的应力，●和相应的应变分别表达为：仃=hkk】7和￡=k％比】7(2)在大变形情况下，应力、应变对应的物理关系写成向量矩阵的形式为：卧南F卜弘，卜魏小·㈢1本课题来源于国家自然科学基金(50638050)：新型张力空间结构体系的基础理论和其性技术研究工业建筑2007增刊t(3)第七届全国现代结构工程学术研讨会通常弹性阶段，取”=O时，于是物理方程表达为三、材料非线性下的本构关系由弹塑性

4、力学上知识，我们得出增量形式的弹塑性应力应变本构方程式中其中弹塑性矩阵的显式为D：三一甲l+“H—G。sj对名酗：三-G跪称一G。s。是．一G’s，：文三一G。岛旷詈G。《它由弹性矩阵和塑性矩阵组成觥矩阵．o。二南一G10。蛾如，却。一妄G’qkjO(1—2p)／4o(1—2Ⅳ)／4塑性矩阵：。，2百Fi五司≤‰4盯：6盯。f删6口，。6盯，r胛9f三9f州f冠=D阳6盯Jf尼9f聃f艋9r三出，却。(4)(5)工业建筑2007增刊、●●●●●●●，fI●●●Jt％k，●●●●●●●●f1．●●●●L0OE0EO擅oo—．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．L1—2=

5、、●●●●●●●-、，●●●●Jt岛砭，●●●●●●，(●，●●【加机压丁压了生"气盘肚1●●●●●●J肌加舭Frj盯G2—3一亿：％～名，一4弓G。一4可HfrjJ盯G2—3一叫oo一¨一．茎主旦全里堡垡堡塑三垦兰查翌塑皇—————————————一对于理艘隆材料进膊崛洎松比∥=l／2，G=焘，日。=o时'于是有卟彘1曩鬻其物理意义可以看作当某一点进入塑性后，由于材料性态的改变使刚度有所下降，而D，正是与弹性状态相比较所下降的那部分。塑性矩阵与材料弹性状态时的特性参数E、G：材料的加工硬化特性(H’)；以及当时材料在该点所处的应力水平(o。)有关。一四、增量形式的虚功方程如以f时

6、刻的状态为度量基准，则考虑f+血时刻时固体或结构中微元的虚功方程f占“血7td咖：f占“△ll““卸dv+【占”“血”“幻出(8)^押”式中：”。△p，’”△g分别为作用在微元上的体力增量和面力增量；万，+。△￡为f+△r时刻时微元的虚应变增量，即应变增量的变分，应变应包括正应变和剪应变。考虑到应变由线性和菲线性两部分组成，即＆=缸L+缸№+⋯或者写成矩阵的形式：血=褂副．㈣，口为f时刻时固体或结构中微元的应力，应力应包括正应力和翦应力，简单表示为。=口=【ar】_k勺t。]‘(10)f+缸时刻时固体或结构中的微元的应力是，时刻时的初应力和f+缸时刻时的应力增量之向量和，即什酊仃=

7、‘d+一‘+血仃(11)或仃=仃。+4仃(12)把相应的值代入上式我们得到：工业建筑2007增刊1●●●●●●，●Jkk：≈q～鼾69第七届全国现代结构T程学术研讨会I[甜卧+f盛嘲咖+I[甜。谢州矧7。谢舢∞，I剐7。鼢V+I[豪]TD[象]dv=I弛1△‘p咖+I融7曲出把相应曾应变矩阵代入上式：I附眭卜+f蹦卧+BI匮]TD[畿卜+I[乏]TD匮]dv+圭I[瓮]TD[乏卜卜，㈣，=一I[象]1[黧]咖+IⅣ’△p咖+lⅣ1匈出其中：B，．日，，B．，，日。分别