压弯构件等效弯矩系数的几何意义和近似公式

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1、第七届仝国现代结构工程学术研讨会压弯构件等效弯矩系数的几何意义和近似公式：秦柏源“2丘利玲“2王帆“2’3(1-华南理工大学建筑学院，广州510640：2华南理工^学亚热带建筑科学同家重点实验室，广州510640；3广东省建筑科学研究院，广州510500)摘要：本文主要论述两端承受端弯矩和轴力的简支压弯构件的P—J效应的情形，提出了弯矩等效系数的几何意义，并以此为基础提出了新的弯矩等效系数的近似表达式。同时，将弯矩等效系数的多种近似表达式做了比较。关键词：压弯构件，等效弯矩系数，几何意义，近似公式一、引言设计压弯构件时，不仅要计算构件的一阶弯矩和一阶挠度，还要考虑轴力引起的二阶效应，即P—J

2、效应和P一△效应。二阶效应会削弱构件的刚度和促使构件发生失稳，对压弯构件的承载力影响很大，所以在设计中必须考虑进去。为此，我们引进弯矩放大系数来反映轴压力的这种不利作用。对于不同的边界条件和荷载类型．弯矩放大系数的理论值也不同。本文主要论述两端承受端弯矩和轴力的简支压弯构件的尸一万效应的情形。我们以端弯矩大小卡}{等，并产生同向曲率为基本情形，对端弯矩不等的情形，则引入等效弯矩和等效弯矩系数的概念来处理。二、端弯矩作用下的压弯构件的弯矩放大系数如图1所示的两端简支压弯构件，两端承受有轴力P吼及端弯矩肘l和M2(弯矩以构件下侧受拉为正)·且有M2≥Ml。令k2=P／f1，，该构件的平衡方程为“

3、1：拿+t。拿：o磊“。蒜～图1端弯矩作用下的压弯构件上式的通解为：y=AsinJh+Bcosh+Cx+D(1)代入边界条件：一yl脚-o，’y卜㈨1捌=鲁，yj捌=鲁、可求得A=二生I竖≥业，B=』箕，c=生I；尝生，D=二姿EIkzsjnktEIk2LEIkz代入式(1)有，、工业建筑2007增刊1637第七届全国现代结构工程学术研讨会，=轰∞哪脯一sh手，，．=熹c酱一≯∽她删=石压彤⋯黼⋯㈣一褂删一求得毒⋯⋯置，然后根据M=一E哆’求出最大弯矩为：M。=M2正面而历忑万丽一sin矿BM。‘(3)式中，口：止型丝驾竺兰二竺!二坐垡三-称为弯矩放大系数。对端弯矩大小相等的特殊情形，即Sl

4、n口肘：=肘。=M。时，式c。，简化为Ⅳ一=M。乎三、等效弯矩和等效弯矩系数在实际应用中，构件的设计是由最大弯矩值控制的。构件的尺寸通常是由最大弯矩值来确定而不是由其位置确定。这种设计思想正是弯矩等效的前提。所谓等效，就是既设计任何端弯矩组合的压弯构件的时候，我们部可以将其等效为端弯矩相等的压弯构件，等效后的构件的晟大二阶弯矩要与原来构件的最大二阶弯矩相等。根据等效概念，可得到下列等式：肼：亚型笔笋竺型州。冬笋‘sin西叫sln毋式中，M。为等效后的构件的端弯矩·由式(4)求得Meq=式中．成=f1—2(Ml／M2)cos妒+(Ml坐2)2～2(1一cos矿)称为等效弯矩系数。将式(5)代回

5、式(4)中，有嘲雩=叁21639(4)2=尾M2(5)(6)(7)工业建筑2007增列第七届全国现代结构工程学术研讨会四、等效弯矩系数的几何意义式(6)的表达式较复杂，为了便于记忆和直观理解尾的变化规律，可以通过其几何意义入手·式(6)可简化为凡=fl一2(Ml／M2)cos妒+(Ml／M2)21『2(卜cos咖式中，当端弯矩产生同向曲率，即Ml／M2为正值时，c=正面可瓦湎面面了耵当端弯矩产生异向曲率，即肘l／M2为负值时Bc=乒币历而面i再丽图2c和毋的几何表示XBHXBC2sin竺图3等效弯矩系数圆图4不同的端弯矩比对应不同的等效弯矩系数圆图5等效弯矩系数圆的圆心轨迹线X对于上述两种情

6、形，c均可以根据余弦定理在图2表示出来。图2中，圆D为一单位圆，丑D为圆D工业建筑2007增刊1639第七届全国现代结构T程学术研讨会的直径，厶0D=妒e对任一给定的纠磊，丛oD为定值，A、丑两点为定点。坐标工=肛，／Mz，对J轴上任一x∈【一1，l】的点F，有陋，【=c，IoFJ=【M．／M：I。令d=2见=c，sin罢，．过F点作垂线，G上胛，，G交曰c于G点·可阻证明A、口、G、F四点芡圆，且有d=lA6l。换言之，对任一给定P／B。等效弯矩系数的几何意义可以描述为过A、B、，三点的圆Dl的半径，本文将亥圆称为等效弯矩系数圆，如图3所示。F点的位置固比值M／Jlt变化而变化，从而圃Dt

7、的半径也在变化。根据等效弯矩系数的几何意义，圆心0l为A占和曰，中垂线的交点，圆心沿A口中垂线运动，轨迹线为图5中的D日。‘，，一由图5中的Rt蝴D可以看出，当工=cos妒时，见存在最小值JBPJ=cos(妒／2)：当妒≥万，2，即毒>o．25时，以最大值为l’此“-1；当妒锄／2’目口毒l·此时J=一1。根据式(7)可知，弯矩放大系数B的变化规律与弯矩等效