希尔伯特的数学生涯

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1、希尔伯特的数学生涯崇高的人格与光辉的数学成就——希尔伯特的数学生涯摘要：本文叙述了希尔伯特的生平，列举并论述了他的数学研究成果，探讨希尔伯特对后世数学发展的巨大影响。关键词：《几何基础》公理化哥廷根“23个数学问题”前言 作为一个时代数学界的领袖，德国人民伟大的儿子，当大卫·希尔伯特1943年在哥廷根与世长辞时，人们开始回顾他所留下的精神印记和正在消失在地平线下的那个数学时代，似乎感到希尔伯特的时代比起以往和以后贯穿着更完美的平衡——精通单个具体问题和形成一般抽象概念之间的平衡。 我们称之为希尔伯特的时代，正因为是他，希尔伯

2、特，通过自己的工作做出了巨大的贡献，开创了二十世纪初那个数学大发展的时代。而后继者们所走的道路，也几乎都可以追溯到他的推动。希尔伯特是推动着一个时代的数学的人，“在以后的时代里我们还没有找到可以达到与他相比的崇高形象”（赫尔曼·外尔语）。大卫·希尔伯特对数学的贡献是巨大的和多方面的，研究领域涉及代数不变式，代数数域，几何基础，变分法，积分方程，无穷维空间，物理学和数学基础等。当然，他在数学领域所做出的最具影响的贡献还是著名的几何基础和“23个数学问题”，它们贯穿整个20世纪的数学乃至现在，影响之深远是我们所无法估量的。 另一

3、方面，希尔伯特的崇高人格更加为人称道的。许多在数学发展中起了相当大作用的年轻数学家，都曾在1900至1914年间侨居哥廷根，师从希尔伯特。而他的问题、观点和数学研究方法的影响更远远超过直接受他教导所鼓舞的那些人的范围。希尔波特的政治人格同样崇高，是“独一无二地没有国家和种族偏见的人”，他反对沙文主义，并且主张“科学无国界”，在政治上始终站在自由和民主的一方。我们研究希尔伯特的数学思想和数学成就，以及产生这种成就的源泉，一、生平与为人 1861年春的一天，奥托·希尔伯特和他夫人玛丽亚的遗传基因偶然地结合，孕育了一个非同寻常的天

4、才人物；1862年1月23日下午一点钟，他们的第一个孩子降生在靠近东普鲁士首府哥尼斯堡的韦洛。父母给他起了个名字叫大卫。希尔伯特和德国的国家主义几乎同时诞生。他来到人世前的几个月，已故普鲁士国王的兄弟到哥尼斯堡进行了一次传统的朝拜。在那座古老的城堡里，他带上了王冠。东普鲁士首都建于公元13世纪中叶，是条顿族骑士修筑的城堡。市内有七座各具特色的大桥，横跨普累格尔河。其中有五座把河岸同河中的克亲芳福岛相连接。这些桥可不简单，哥尼斯堡因此而载入了数学史：桥的配置能引出一个数学问题，牵涉著名的拓扑学基础，之前的一个世纪被欧拉(Eul

5、er)所解决。哥尼斯堡大教堂在克余芳福岛，近旁是一所古老的大学，还有哥尼斯堡最伟大的居民伊曼努尔·康德(1mmanudKant)的墓地。像哥尼斯堡所有的孩子一样，大卫的成长也深受康德言论的抚育。 1880年秋天，18岁的希尔伯特进人家乡的哥尼斯堡大学，他不顾当法官的父亲希望他子承父业的愿望，毫不犹豫地进了哲学系学习数学（当时的大学，数学还设在哲学系内）．希尔伯特发现当时的大学生活要多自由有多自由．意想不到的自由，使许多年轻人把大学第一年的宝贵时光都花费在学生互助会的传统活动饮酒和斗剑上。然而对希尔伯特来说，大学生活的更加迷人

6、之处却在于他终于能自由地把全部精力给予数学了． 许多德国学生有从一个大学到另一个大学周游的习惯，希尔伯特却不同，一直在家乡求学，正是在嘉兴的大学里，他攀上了学术界的最初几级台阶，成为大学讲师，在适当的时候升为副教授。1895年在费力克斯·克莱因的建议下，被授予哥廷根的正教授的职位，这是他的一流代数家的声誉已经建立起来了。而哥廷根由于有希尔伯特和稍后闵可夫斯基的加盟，一下子成为了世界数学的中心。从这时一直到去世，希尔伯特一直在哥廷根直至1930年退休。希尔伯特与三个人的关系很值得关注。 一是他与克罗内克不免充满矛盾的态度。希尔

7、伯特是康托尔的一般集合论的早期一个少数的拥护者之一。而克罗内克正是康托尔的死敌。在希尔伯特看来，克罗内克的数学就是普洛克鲁斯的梯床，这位老数学家利用自己的权势和声望，压制那些不符合自己数学思想的其它声音。克罗内克坚持定理的证明必须通过整数明显构造出来。然而另一方面。他又依赖克罗内克，因为在希尔伯特的代数时期，克罗内克的工作的重要性是毋庸讳言的。晚年的希尔伯特在这一方面的矛盾其实更加尖锐，与布劳维尔的直觉主义的论战，其实是在与克罗内克的鬼魂的论战。希尔伯特一方面同克罗内克斗争事实上又在另一方面追随他：他须沿着严格的直觉主义的路

8、线来思考，以求保护非直觉主义的数学。 另两位是阿道尔·胡尔维茨和闵可夫斯基，前者是希尔伯特的老师、朋友和前任，后者则在青年时就成为希尔伯特挚友并且成为希尔伯特前半生最忠实的数学伙伴。1902年希尔伯特和闵可夫斯基在哥廷根重新聚首，这之后的十年，直至闵可夫斯基逝世，数学领域因二人的共同工作经