高中数学辅助元问题摭谈

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第8聊高中数学教与学高中数学辅助元问题摭谈苏立标(浙江省杭州师范大学附属中学，310030)在高中数学中，我们经常涉及到许多辅垂直所有直线都在这个平面内，故动点c都助元，诸如辅助线、辅助面、辅助体、辅助圆、辅在这个平面与平面Ol的交线上，故选A．助式、辅助角、辅助函数等大量的辅助元问题点评本题的解答正是通过寻找一个辅构成了奇妙的数学辅助元“大家族”，它们活助面，化“动”为“静”，化难为易，把空间问题跃在高中数学的方方面面，在数学问题的解归结到平面问题，这时我们不得

2、不发出感慨：决中扮演着重要的角色．同时也正是因为引“辅助面，太有用了”．进辅助元，才使得很多数学问题的解决变得二、辅助角轻而易举，也使得很多问题的处理变得一切角是高中数学中非常活跃的元素，有着都在情理之中．所以在我们平时的教学中有各种各样的角的形式，有着千姿百态的角的必要引导学生对这些问题进行整合、归纳，提范围，因此从这个角度来说角是异彩纷呈也高学生的思维概括能力，有利于学生对数学不过分．其中辅助角的问题是一道独特的风本质的认识．景，特别是在三角问题中，辅助角公式asin一、辅助线、辅助面、辅助体+bcos=Ⅱ

3、+6sin(+)(为辅助角)辅助线、辅助面、辅助体，可以说是用几可以说是“叱咤风云”，此公式的奇妙之处就何方法研究空间图形性质的“三剑客”．在研在于把两个三角函数统一成一个角的三角函究空间图形问题时，添辅助线是家常便饭，在数，从而把问题转化成正弦或余弦函数的性我们的教学中也是司空见惯的手段．对于辅质来讨论，这是一个看似平常但又应用广泛助面的问题，一个方面是由于定理应用本身的公式，在三角中占有重要的地位．在求参数的要求，象直线与平面平行性质定理的应用、方程中引进的角参数也是辅助角的思想，象平面与平面平行性质定理的

4、应用，就必须要找到或作出一个辅助面才可以实现问题的转椭圆参数方程{们os(为参数)中的离tybsin化，另一方面就是通过添辅助面可以把空间心角就是一个非常典型的辅助角．问题转化为平面问题来处理，从而使问题迎刃而解．三、辅助式例1(2006年北京高考题)平面的斜有关式子的运算问题是高中数学中一条线AB交Ol于点，过定点A的动直线z与AB垂主要线索，特别是有关不等式的证明问题，经直，且交Ol于点C，则动点c的轨迹是()常需要有较强的技巧，很多学生对此常常是(A)一条直线(B)一个圆望尘莫及，如果我们能够构造适当的辅

5、助式，(C)一个椭圆(D)双曲线的一支往往将会是“柳暗花明又一村”，在证明不等分析设z与f是其中的两条任意的直式时，辅助式的常见形式是对偶式．线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB例2(1998年全国高考题)已知数列垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一{b}是等差数列，b。=1，b。+b+⋯+b。0=个平面与已知直线垂直可知：过定点A与AB145．．·q·维普资讯http://www.cqvip.com高中数学教与学2007置(1)求数列}b}的通项b；距离分别是，一，则满足条件的直线z(2)设数列{o}的

6、通项o：共有()条．log(1+11(其中0>0，且0≠1)，记S是(A)1(B)2(C)3(D)4、／解构造以A、B为圆心，，43一√2为半数列{o}的前n项和．试比较S，与÷。ng⋯b径的两个圆，满足条件的直线z就两个圆的公的大小，并证明你的结论．切线．由II=，知两个圆外切，所以公切分析易得数列{b}的通项是b=3n线共有3条．五、辅助函数与辅助数列一2；因此要比较与÷J0gb的大小，只要对于讨论函数的性质问题，经常需要引进辅助函数，通过研究辅助函数的性质来解比较(1+1)(1+{)⋯(1+)与答问题，特

7、别是与导数息息相关的函数综合3n+1的大小．题与辅助函数的关系更为密切．设4=(1+1)(1+÷)⋯(1+)，例4(2004年湖南高考题)设)、g()分别是定义在R上的奇函数和偶函数，则A：旱×}×等×⋯×．当<0时()g()+)g()>0，且g(一3)=0，则不等式)g()<0的解集是引进两个辅助式()，3693了。‘，(A)(一3，0)U(3，+∞)47】03+】(B)(一3，0)U(0，3)了一‘(C)(一∞，一3)u(3，+∞)易证A>B>C．A>ABC，(D)(一∞，一3)u(0，3)·分析由题意，我

8、们可以构造辅助函数．．A>3n+1，即A>／3n+1，得证．点评此不等式的证明就是借助于两个F()：)g()，只须研究F()的奇偶性辅助式，非常轻松地达到问题的突破，也使得与单调性，因为)、g()分别是定义在R上问题的解决变得“得来全不费功夫”．的奇函数和偶函数，所以F()为奇函数．易四、辅助圆证F()在(0，+∞)上是增函数，在(一∞，单位圆是高中数学中辅助圆的最常见的形0)也是增函