浅谈高等代数命题中的若干技巧

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1、第29卷第3期大学数学Vo1．29，NQ．32O13年6月COLLEGEMATHEMATICSJun．2013浅谈高等代数命题中的若干技巧谢启鸿(复旦大学数学科学学院，上海200433)[摘要]主要从巧设参数，考察学生的基础实力；适当推广，提高学生的解题功力；逆向命题，强化学生的应变能力；一题多解，激发学生的思维活力这四个方面阐述高等代数命题中的若干技巧．[关键词]高等代数；命题技巧；数学教育[中图分类号]o151．21[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2013)03—0127—04高等代数课程是大学数学系本科生最重要的基础课之一．复旦大学数学科学学院代数组在

2、多年来高等代数的教学过程中发现，如何有效地通过期中、期末考试等考试形式更好地考察学生对课堂所授知识的理解和掌握，客观地反馈给任课老师学生在学习过程中的遇到的问题和难点，尽可能地发挥考试的各项功能，这是改进教学实践和推进教学改革的重要环节之一．在处理这一环节的过程中我们还发现，高等代数考试命题成功与否对于上述考试功能的正常实现有着十分关键的作用．复旦大学数学科学学院代数组在高等代数各类考试的命题中，始终以姚慕生教授和吴泉水教授所著教材[1作为蓝本；坚持自主创新命题；合理设计考卷结构；并在多年的教学实践中取得了丰硕的成果．本文主要从巧设参数、适当推广、逆向命题和一题多解这四个方

3、面阐述高等代数命题中的若干技巧，例举试题大部分为复旦大学数学科学学院期中、期末考试及复旦大学数学竞赛中自主创新的命题．1巧设参数，考察学生的基础实力高等代数中一些重要的理论，从结构上看还是比较复杂的．比如说，线性方程组的求解理论．求解一个线性方程组，一般的步骤为：首先比较系数矩阵和增广系数矩阵的秩来判断线性方程组是否存在解；其次在解存在的情况下，求出相伴齐次线性方程组的基础解系和原方程组的一个特解；最后再组合得到原方程组的通解．在设计线性方程组求解的试题时，如果系数矩阵是数字矩阵，显然以上各知识点不可能在一道题中全部考察到．因此，我们可以考虑在系数矩阵中适当加入一些参数．这

4、些参数的加入，让学生不得不对参数进行讨论，从而在一道试题中可以考察到线性方程组求解理论的所有知识点．另外，如果参数添加得巧妙，还可以使计算量不至于扩大很多，并且让学生能得到简单的答案．例1求解下列线性方程组，其中。，b为任意实数．f1+2x2+7x3+3ax4一b+2，I2l+32+5z3+(n+1)4一b，I7l+9z2+4z3+盯4—2b一6，I3x1+5x2+12x3+(4a+1)z4—3b一2．解当b≠4时，方程组无解；当b一4，a一1时，方程组的通解为[收稿日期]2011一O1一O4[基金项目]复旦大学数学科学学院数学类基础课程教学团队(国家级)项目128大学数学

5、第29卷(一10，8，0，O)+C】(11，一9，1，0)+f2(5，一4，0，1)，其中C，c。为常数．当b一4，a≠1时，方程组的通解为(一1O，8，0，O)+Cl(11，一9，1，O)，其中C，c为常数．又比如说，求矩阵的Jordan标准型．如果A是数字矩阵，那么按照通常的求法，首先通过一矩阵的初等变换求出I—A的不变因子组，然后由不变因子组求出初等因子组，最后即可得到A的Jordan标准型．这样的试题出现在填空题上无可厚非，如果出现在大题上就会略显单薄．然而，我们可以在矩阵中适当加入一些参数，然后让学生利用Jordan标准型理论中的相关知识点对参数进行讨论，最后根据

6、讨论的情况得到答案．例2求方阵1a+2A=0O136的Jordan标准型，其中a，b为任意实数．解显然A的特征值全为1．考虑特0征O值11的}几何重数4一r(I-A)．如果a+2≠0且b+4≠0，那么特征值1的几何重数为1，从而A的Jordan标准型只有一个Jordan块，即为J(1)．如果a+2=0O001或6+4—0，那么特征值1的几何重数为2，从而A的Jordan标准型有两个Jordan块．经计算容易得到(A—J)一O当且仅当a+2—0且6+4—0．于是剩余的结论是：如果a+2：0，b十4—0两个都成立，则A的极小多项式为(—1)。，从而A的Jordan标准型为dia

7、g{I，(1)，．，(1)}；如果a+2—0，b+4=0只有一个成立，则A的极小多项式为(～1)。，从而A的Jordan标准型为diag{1，J。(1))．2适当推广，提高学生的解题功力㈩(I){1zl薹+l+2z{2+z2⋯+⋯n+n一0’z一0，㈩(Ⅱ)I．．1．．．⋯．一．：’。。⋯第3期谢启鸿：浅谈高等代数命题中的若干技巧129题只求“的所有1维不变子空间”，而本题推广为求“的所有不变子空间”．应该说，这两个路障会很好地考验学生的基本功，特别是要越过第2个路障，不得不利用VanderMonde行列式这一工具