点球大战中的概率

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1、概率论论文点球大战中的概率班级学号摘要：实际罚点球时，由于守门员站位、反应时间、扑救距离以及罚球者的习惯（左右脚）、射门力度等因素的影响，不同的射门方向和力度影响甚大，如中路进球概率低于两侧，习惯右脚射门的人射左路的可能性大等，可以此为参照选择合适的射门方式或扑球策略。关键词：点球；射门；扑救；概率博弈；数学建模；控制区；多项式拟合；正态分布；旋转球；空气动力学；最优化引言：眼下，欧洲杯正如火如荼的进行，引来全世界球迷的瞩目，而点球大战是足球比赛中最惊心动魄的镜头之一。在足球比赛中，罚点球是对犯规队员的一种严重判罚和对被罚队最有威胁的判罚，同时是也攻方最容易得分的机会。

2、另外，根据国际、国内足球运动现行竞赛规程的规定，在比赛规定的时间结束仍然踢成平局后，用踢点球来决定胜负。这样，踢点球的成败往往就成为一个队胜负的关键。而在最近的两场欧洲杯淘汰赛中，都是依靠点球决定胜负，罚点球真的只是靠直觉和运气吗？本文就将从概率和建模的角度对点球大战进行一些分析。正文：1．选择射门方向根据实际比赛中的统计，可假设：射门中路，守门员往左右扑救成功概率为0.6射门两侧，射门员扑向同侧时扑就成功概率为0.9，扑向异侧时成功概率为0.4用博弈论中的表格表示法为：射门者守门员左右左0.40.9中0.60.6右0.90.4射门射中的概率假设球员射门时随机选择方向，

3、则射中期望E（左）=E（右）=0.4*0.5+0.9*0.5=0.65E（中）=0.6故不应选择射门向中路，据统计，在实际比赛中，选择射中路被扑出得到概率要远大于射向两侧此时将情况进一步增多首先假设不存在射飞或射高的情况。在扑对方向的前提下守门员也不会失误或脱手，不考虑补射的情况(点球大战中根本不存在)。就是说球只有两种状态：射进或被扑出。球员射门有6个方向：中下，中上，左下，右下，左上，右上如果球员射门的方向是随机选择的(类似于AI)，那么球射向这6个方向的概率均为1/6。而作为守门员，扑球有5种选择：不动，左下，右下，左上，右上①动可扑出中下和中上2个方向的点球②左

4、下可扑出左下和中下③下可扑出右下和中下④左上可扑出左上⑤右上可扑出右上其中①②③3种选择可扑出2个方向的来球，换言之，这3种选择的效率是其他两种选择的2倍。所以作为一个守门员，面对一个没有经验的对手，扑球应该多选择①②③。那么如何作一个有经验的PKer呢？如果你面对的是一个菜鸟级的守门员，那么应该清楚他的扑球方向是大致随机的，即随机选择①—⑤。那么从下图可知6个射门方向被堵住的可能性是　　┏━━━┯━━━┯━━━┓　　┃1/5┊1/5┊1/5┃　　┠┈┈┈┼┈┈┈┼┈┈┈┨　　┃1/5┊3/5┊1/5┃　　┻━━━┷━━━┷━━━┻　　所以这种情况下我们要少打中下，其他

5、的四个方向可以任意选择。但如果守门员并不是菜鸟，而是一只经验丰富的老鸟，他清楚①②③的效益是④⑤的2倍，他必然会有意识的多扑①②③。而且至少在概率是④⑤的2倍。(否则就不能体现这个效益)就是说8次扑救中①②③各2次，④⑤各1次。那么6个射门方向被堵住的概率就变成了　　┏━━━┯━━━┯━━━┓　　┃1/8┊1/4┊1/8┃　　┠┈┈┈┼┈┈┈┼┈┈┈┨　　┃1/4┊3/4┊1/4┃　　┻━━━┷━━━┷━━━┻　　现在不仅不能射中下，而且还要有意识的多打两个上角，因为进球的概率是7/8。2.从反应时间、防守面积，球受力等方面建立罚点球模型2.1模型假设1.不考虑心理及其

6、他人为因素的影响。2.守门员和罚球员严格遵守比赛规则，并且没有其他球员的干预。3.当从守门员角度建立模型时，假设其身高为180cm；从罚球员角度建立模型时，假设守门员身高为197cm。4.为计算简便，将不同身高的守门员起跳时加速距离和起跳速度看作是相同的。5.在做鱼跃动作时，守门员飞行过程中其身体中轴线与地面的夹角是均匀变化的。6.守门员臂展长与身高相等。7.在球被踢出前，守门员站在两球门柱的正中间。8.球被踢出后在空中的最长飞行时间是0.6s。9.球在空中飞行的过程中，竖直方向空气阻力忽略不计。2.2影响罚球员射门成功率的因素主要考虑：1.球速的大小。2.球在空中的运

7、行路线。3.球从球门的哪个区域射入。其中第3个因素的影响几乎可以说是决定性的。扑球时机的把握要想把球扑住，守门员须在球运动到球门附近时到达预计球入网的区域。虽然中速、慢速球要在0.4至0.6秒甚至更多的时间才能到达球门，但由于球速越快对罚球员就越有利（详见5.2.1.3），绝大多数罚球员会尽量提高球速。2.3扑救动作时间与球飞行时间的比较如图3所示，最快速的球穿过OA距离的时间为t1min=OAv1=1136=0.305s（1）考虑到大多数球入网时距地面也有一段距离，并且如果射出的是斜球，以打在球门框上的极端情况为例，有AB=OA2+OB