弦论和宇宙隐维的几何

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1、數學傳播35卷4期,pp.3-13丘成桐院士演講∗一一弦論和宇宙隱維的幾何時間:民國100年8月5日地點:台灣大學天文數學館1F國際會議廳今天要講的,是數學和物理如何互動互利,這種關係在Calabi-Yau空間和弦論的研究中尤為突出。這個題目非出偶然,它正是我和SteveNadis1的新書《內空間的形狀》2的主旨。書中描述了這些空間背後的故事,個人的經歷和幾何的歷史。我寫這本書,是希望讀者透過它,了解數學家是如何看這世界的。數學並非一門不食人間煙火的抽象學問,相反地,它是我們認識物理世界不可或缺的工具。現在,就讓我們沿著時間—或更確

2、切地、沿著時空—從頭說起。I.黎曼幾何學圖1.TheShapeofInnerSpace一九六九年,我到了柏克萊唸研究院。在那裏我了解到,十九世紀幾何學在高斯3和黎曼4的手上經歷了一場翻天覆地的變化。黎曼的創見,顛覆了前人對空間的看法,給數學開闢了新途徑。幾何的對象,從此不再局限於平坦而線性的歐幾里德空間內的物體。黎曼引進了更抽象的、∗感謝丘成桐院士同意本刊登載他於台灣大學數學系演講的講稿。本文下方註解為本刊所加,非原稿所有,希望能方便讀者閱讀。1註:SteveNadis,美國作家,天文學雜誌AstronomyMagazine的特約編

3、輯。2註:如附圖1,書名為「TheShapeofInnerSpace:StringTheoryandtheGeometryoftheUniverse’sHiddenDimensions」,ISBN0465020232,2010年由BasicBooks(U.S.)出版。3註:CarlFriedrichGauss(1777-1855),德國數學家,有「數學王子」之稱,並被譽為是最重要的數學家。4註:GeorgFriedrichBernhardRiemann(1826-1866),德國數學家,黎曼幾何學創始人,複變涵數論創始人之一。34數

4、學傳播35卷4期民100年12月圖2.高斯圖3.黎曼具有任何維數的空間。在這些空間裏,距離和曲率都具意義。此外,在它們上面還可以建立一套適用的微積分。大約五十年後,愛因斯坦發覺包含彎曲空間的這種幾何學,剛好用來統一牛頓的重力理論和狹義相對論,沿著新路邁進,他終於完成了著名的廣義相對論。圖4.愛因斯坦在研究院的第一年,我唸了黎曼幾何學。它與我在香港時學的古典幾何不一樣,過去我們只會討論在線性空間裏的曲線和曲面。在柏克萊,我修了Spanier5的代數拓樸、Lawson6的黎曼幾何、Morrey7的偏微分方程。此外,我還旁聽了包括廣義相對

5、論在內的幾門課,我如飢似渴地盡力去吸收知識。課餘的時間都待在圖書館,它簡直成了我的辨公室。我孜孜不倦地找尋有興趣的材料來看。聖誕節到了,別人都回去和家人團聚。我卻在讀《微分幾何學報》8上John5註:EdwinHenrySpanier(1921-1996),美國數學家,其著作是代數拓樸學的標準教材。6註:BlaineLawson,微分幾何學家,美國紐約州立大學石溪分校教授,以最小曲面等的工作著稱。7註:CharlesB.Morrey,Jr.(1907-1984),美國數學家,對變分法與偏微分方程有非常重要的貢獻。8註:Journal

6、ofDifferentialGeometry,ISSN(print)0022-040X,ISSN(online)1945-743X。丘成桐院士演講—弦論和宇宙隱維的幾何5Milnor9的一篇論文,它闡述了空間裏曲率與基本群的關係。我既驚且喜,因為它用到了我剛剛學過的東西。Milnor的文筆是如此流暢,我通讀此文毫不費力。他文中提及Preissman10的另一論文,我也極感興趣。從這些文章中可以見到,負曲率空間的基本群受到曲率強烈的約束,必須具備某些性質。基本群是拓樸上的概念。雖然,拓樸也是一種研究空間的學問,但它不涉及距離。從這角度來

7、看,拓樸所描繪的空間並沒有幾何所描繪的那樣精細。幾何要量度兩點間的距離,對空間的屬性要知道更多。這些屬性可以由每一點的曲率表達出來,這便是幾何了。圖5.JohnMilnor舉例而言,甜甜圈和咖啡杯具有截然不同的幾何,但它們的拓樸卻無二樣。同樣,球面和橢球面幾何迥異但拓樸相同。作為拓樸空間,球面的基本群是平凡的,在它上面的任何閉曲線,都可以透過連續的變動而縮成一點。但輪胎面則否,在它上面可以找到某些閉曲線,無論如何連續地變動都不會縮成一點。由此可見,球面和輪胎面具有不同的拓樸。Preissman定理討論了幾何(曲率)如何影響拓樸(基本

8、群),我作了點推廣。在影印這些札記時,一位數學物理的博士後ArthurFisher嚷著要知道我做了什麼。他看了那些札記後,說任何把曲率與拓樸扯上關係的結果,都會在物理學中用上。這句話在我心中留下烙印,至今不忘。9註:JohnWilla