卡尔曼滤波算法的几何解释

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1、维普资讯http://www.cqvip.comVo1．27．NO．4火力与指挥控制第27卷第4期October．2002FireControl＆CommandControl2002年1O月文章编号：1002—0640一(2002)04—0048—03卡尔曼滤波算法的几何解释范洪达，李相民(海军航空工程学院，山东烟台264001)摘要：对低维卡尔曼滤波算法作了几何解释，这种解释对卡尔曼滤波有一种直观的理解，使人们对卡尔曼滤波有更本质的认识。关键词：卡尔曼滤波；算法；几何解释中图分类号：TN713文献标

2、识码：ATheGeometrocalExplanationofKalmanFilterArithmeticFANHong—da，LIXiang—min(NavalAeronauticalEngineeringAcademy，Yantai264001，China)Abstract：ThepaperpresentsageometricalexplanationoflowdimensionKalmanfilter，whichprovidesaintuitionisticcomprehensiontoKalm

3、anfilter．IthelpstounderstandtheessenceofKalmanfilter．Keywords：kalmanfilter，arithmetic，geometricalexplanation和X(志)的协方差矩阵为P(k／k)，这样滤波方程可l卡尔曼滤波算法表示如下：卡尔曼滤波方程有多种不同定义方式的描述方状态预测值：程组，详见文献[2—6]，本文以文献E53为参考，列举又(志+1／k)一(志)又(k／k)+G(k)(志)(3)一种进行讨论。预测协方差矩阵：1．1动态系统P(

4、志+1／k)===(志)P(k／k)(志)+Q(志)(4)过程方程：量测预测值：X(志+1)一(志)X(志)+G(志)(志)+W(志)(1)Z(志+1／k)一H(志+1)(志+1／k)(5)其中：新息协方差矩阵：EEW(k)]一0(志+1)一H(志+1)P(志+1)H(志+1)+EEW(k)W()]一Q(志)R(志+1)(6)量测方程：增益矩阵：Z(志+1)一H(志+1)X(志+1)+v(k+1)(2)K(志+1)一P(志+1)／k)H(志+1)一(志+1)(7)其中：状态滤波值：E~v(k)]一0(

5、志+1+1)一X(志+1／k)+K(志+1)IZ(志+E~v(k)vT(j)]=R(k)3k1)一Z(志+1／k)1(8)1．2滤波算法滤波协方差矩阵：假设已知k时刻状态X(k)的滤波值为又(k／k)P(志+1+1)一P(志+1／k)一K(志+1)(志+1)K(志+1)(9)收稿日期：2001—06—15修回日期：2001—11—3O1．3最小协方差作者简介：范洪达(1941一)，男，教授、博士生导师。主要从状态转移矩阵和量测矩阵的一步预报状态估计事火力与指挥控制方面的教学与研究；和量测向量为：李相民

6、，男，副教授、博士研究生。X(志+1／k)一(志／k)(10)维普资讯http://www.cqvip.com范洪达等：卡尔曼滤波算法的几何解释(总第27-289)·49·Z(志+1／k)一HX(志+1／k)(11)1(志+1／k+1)一(志+1／k)一K1(志+1)(志+1)记预测状态向量误差为：(18)(志+1／k)一X(志+1)一又(志+1／k)(12)为使滤波协方差最小，从三角形顶角作垂线形(志+1+1)一X(志+1)一又(志+1／k+1)成的新三角形如图1所示的各边定义的正是K(志(13)+

7、1)最佳时的式(18)。类似的量测向量多余部分ll(志+1／志+1)ll最小从而保证ll(志+1／2(志+1)一Z(志+1)一Z(志+1／k)(14)志+1)l与(志+1)正交。从图1中的相似三角形可此处注意不要与预测量测向量误差相混淆，预求出K1：测量测向量误差等于K1(志+1)ll(志+1)lll(K+l／k)lHX(志+1)一Z(志+1／k)—丌一一—T一滤波问题就是求式(8)中增益K(志+1)，使更求出K1(川)一(19)新的状态估计误差最小式(19)对应的更一般的表达形式：可写成X(志+1／

8、志+1)一X(志+1／k)+K(志+1)2(志+1)(15)Kc志+一‘cOvI(宠己十I)(宠十I)l一其中K(志+1)是卡尔曼滤波增益，见式(7)，最(志+1)(20)小协方差表达式见式(9)。式中P是矩阵P第i行第列上的元素。本例2几何解释中P是2×2的矩阵，是1×1的矩阵，经整理后的设X包含两项，即式(2O)是标量方程。rX】(志+1)]同样，协方差更新算法可根据三角形勾股定理，LX，(志+1)J由向量1(志+l／k)、1(志+1／志+1)和K(