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1、北京邮电大学2011——2012学年第1学期《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一、填空题：（每小题3分，共30分）1．设集合，则定义在上的包含{1}的最小s-代数是.2．设随机事件两两不相容且满足.记,则概率.1/23．若集函数为定义在代数上的测度，则当时，为定义在代数上的概率测度.4．若是W上的两个非空集合类，是上的测度，若满足：（1）;（2），则称是在上的扩张。；91．（1）设为
2、二可测空间，是从上的映射。若对"BÎB，有，则称是从上的可测映射；（2）设为一概率空间，X是从到上的取有限值的实函数，若对任意实数，有，则称X是上的随机变量。；2．设为定义在概率空间上的随机变量，则数学期望用可测函数的积分表示形式为；若的分布函数为，则数学期望的L-S积分形式为.;3．设随机过程,其中随机变量独立同分布于标准正态分布,则的一维概率密度函数.4．设随机过程均方可导，导过程为，相关函数，则.95．设为参数为的泊松过程,,则条件概率.1/e910.设为参数为的维纳过程,,则二维随机变量的协方差矩阵为.二.（4分）
3、设A是集代数，也是单调类，证明A是s-代数.证明：由A是集代数，要证A是s-代数，只需证A对可列并运算封闭。若A，n=1，2，…，令，由A是集代数知，A。……2分显然，且，而A是单调类，故A，从而A。……2分三.（10分）设随机变量R和相互独立，且~U(0,2p)，R具有概率密度令X=Rcos，Y=Rsin，求的概率密度.解：令，则……2分……2分又（R，）的联合概率密度为9……2分于是（X，Y）的联合概率密度为……4分四.（10分）设X与Y均服从参数为1的指数分布，且相互独立，求条件数学期望.解：令，则。又（X，Y）的联
4、合概率密度为于是（U，V）的联合概率密度为（3分）则9于是当时，当时，（3分）于是当时，，于是当时，，（3分）（1分）五.（10分）设随机变量的分布列为（1）求随机变量的特征函数;（2）求.解（1）.……4分（2）记,.……6分六.（10分）设是两个相互独立的平稳过程，均值函数分别为，谱密度函数分别为,相关函数分别为.9（1）证明过程为平稳过程;（2）求平稳过程的功率谱函数.（1）证明 （５＇） 所以是平稳过程。（2）(5)七.（10分）3个人(分别称为第1,2,3人)相互传球,每次传球时,传球者等
5、可能地把球传给其余2人中的任何一人．对,表示经过次传递后球的状态（若经过次传递后，球在第人手中，则）,令.（1）证明为齐次马氏链，并写出一步转移概率矩阵；（2）求经过2次和4次传递后，球都回到第１人手中的概率.解：（1）证明：对于任意整数，及任意,当时，总有且以上条件概率与m无关,其中，故为齐次马氏链．……２分9又 ， 所以一步转移概率矩阵为 ……5分（２）（2）初始分布为 ,所以 ……5分八.（10分）设马氏链的状态空间为，转移概率矩阵为9确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求平稳分布.解.（1）链可分,{3}
6、{2,6}是不可分闭集,状态空间（2）周期.……4分（3）设平稳分布为,则解之得,其中.（4）所以3,2,6正返态,1,4,5为非常返.……6分九.（6分）设是齐次有限马氏链,证明（1）所有非常返态不构成闭集;（2）状态空间中无零常返态.证明.(1)记所用非常返态的集合为,并设之为闭集,则9由的任意性,矛盾.…..3分(2)设有零常返态,并记为,则为闭集.用代替(1)中的可证明结论.…..3分9
