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1、行列式的若干应用TheNumberofApplicationsofTheDeterminants专业:数学与应用数学作 者:指导老师:III摘要行列式是数学研究中的一类重要的工具之一,它的应用非常广泛.本文从以下三个方面对行列式的应用进行了论述:探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用;举例说明了行列式在初等代数中的应用,如在因式分解中应用,证明不等式以及恒等式;最后综述了行列式在解析几何中的若干应用.关键词:行列式;矩阵;线性方程组;秩;因式分解;平面组;点组IIIAbstractDeterminantisakindofimportanttoolsinthemathe
2、maticalstudy,itisaverywiderangeofapplications.Inthispaper,wehavebeentodiscussfromthefollowingthreeaspectsoftheapplicationsofthedeterminants:Toexploretherelationshipbetweenthedeterminantandlinearequationsandtheapplicationinthesolutionoflinearequations;examplesoftheapplicationofthedeterminantinalge
3、bra,suchastheapplicationoffactorization,toprovethatinequalityandidentity;inthefinal,wehavemadeoverviewofthenumberofapplicationsofthedeterminantsinanalyticgeometry.Keywords:Determinant;Matrix;Linearequations;Rank;Factorization;Planegroup;PointgroupIII目录摘要IAbstractII0引言11行列式在线性方程组中的一个应用12行列式在初等代数中的
4、几个应用22.1用行列式分解因式22.2用行列式证明不等式和恒等式33行列式在解析几何中的几个应用43.1用行列式表示公式43.2行列式在平面几何中的一些应用63.3行列式在三维空间中的应用8参考文献150引言行列式是研究数学的重要工具之一.例如线性方程组（见文[1]-[5]）、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置(见文[2])、初等代数（见文[9]）、解析几何（见文[6]-[8]）、维空间的投影变换、线性微分方程组等,用行列式来计算是很便利的.本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用.1行列式在线性方程组中的一个应用设含有个变元的
5、个一次线性方程组为（1）设方程组（1）的系数矩阵的秩是,不失一般性,假定不等于零的阶行列式是.行列式中的元素,就是矩阵中去掉第一列的元素以后剩下的元素,并按照它们的原有位置排列.我们把看作是未知数,是已知数,解方程组(1),得（2）式中是行列式的第列元素换以所成的行列式.也就是第15页,共15页.把中第列移到第一列,得.上式右边的行列式用表示,行列式是矩阵中去掉第列剩余下的元素所组成.故.代入（2）式,得,或.结论[2]:方程组（1）中的与成比例,式中是从矩阵中去掉第列剩余下的元素做成的行列式.2行列式在初等代数中的几个应用2.1用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键,是把所给的多项式
6、写成行列式的形式,并注意行列式的排列规则.下面列举几个例子来说明.例2.1.1分解因式：.解第15页,共15页.例2.1.2分解因式:.解原式.2.2用行列式证明不等式和恒等式我们知道,把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上,行列式不变;如果行列式中有一行（列）的元素全部是零,那么这个行列式等于零.利用行列式的这些性质,我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例2.2.1已知,求证.证明令,则.命题得证.例2.2.2已知求证.证明令,则第15页,共15页命题得证.例2.2.3已知,求证.证明令,则而,则,命题得证.3行列式在解析几何中的几个应用3.1用行列式表
7、示公式3.1.1用行列式表示三角形面积以平面内三点为顶点的的面积S是(3)的绝对值.证明将平面三点扩充到三维空间,其坐标分别为,其中为任意常数.由此可得：,则第15页,共15页面积为=.3.1.2用行列式表示直线方程直线方程通过两点和的直线的方程为.（4）证明由两点式,我们得直线的方程为.将上式展开并化简,得此式可进一步变形为此式为行列式(4)按第三行展开所得结果.原式得证.3.1.3应用举例例若直线过平面上两个不同的已知点,,求直
