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1、【5A文】数学物理方程学习资料授课内容数学物理定解问题（Chap.7）分离变数（傅里叶级数）法（Chap.8）球函数（Chap.10）柱函数（Chap.11）Chap.7数学物理定解问题数学物理方程的导出定解条件数学物理方程的分类达朗贝尔公式定解问题本章小结物理量u(Y,E,B,P…)空间分布（x,y,z）时间演化（t）边界条件初始条件物理规律u(x,y,z,t)分析问题定解问题（确定系数）定界条件§7.1数学物理方程的导出常见的数学物理方程1.波动方程2.输运方程3.稳定场方程导出的步骤1.确定研究对象（物理量）2.分析物理过程，提炼物理模型3.建立方程，化简整理，推广波动方
2、程均匀弦的微小横振动问题：一根长为L的均匀弹弦，不计重力，不受外力。其张力为T，线密度为ρ。求弦的微小横振动的规律。分析：设弦平衡时沿x轴，考虑弦上从x到x+dx的一段，其质量为ρdx。设弦的横振动位移为u(x,t)，则由牛顿第二定律ρdxutt=T2sinα2-T1sinα10=T2cosα2-T1cosα1微振动条件cosα1=cosα2=1sinα1=tanα1=ux(x,t)sinα2=tanα2=ux(x+dx,t)于是有T2=T1=Tρuttdx=T[ux(x+dx,t)-ux(x,t)]化简后得到ρutt=Tuxxutt=a2uxxBCAα1α2uxxdxa2=T
3、/ρ波动方程推广1情况：受迫振动（考虑重力或外力）分析：设单位长度所受到的横向外力F(x,t)，则dx段的受力为Fdx方程：ρutt=Tuxx+Futt=a2uxx+f，f=F/ρ波动方程推广2情况：均匀杆的纵振动问题分析：张力T变成杨氏模量Y方程：ρutt=Yuxx+Futt=a2uxx+f推广3情况：三维情况分析：位移u成为空间变量x,y,z和时间t的函数方程：扩散方程问题：扩散问题中研究的是浓度u在空间的分布和在时间中的变化。分析：扩散现象遵循扩散定律，即q=-D▽u，q是扩散流强度，D是扩散系数，▽u是浓度梯度。对于三维扩散问题，考察单位时间内小体积元dxdydz的净流
4、入量。zyxdxdydzo扩散方程在x，y，z方向上，单位时间内净流入量为如果体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数输运方程一维热传导问题：一根长为L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为ρ。求杆内温度变化的规律。分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段，其质量为ρdx，热容量为cρdx。设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为u(x,t)，则由能量守恒定律cρdxdu=dQ=[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt=-qx(x,t)dxdt于是有cρut=-q
5、x由热传导定律q(x,t)=-kux(x,t)代入前面的式子，得到cρut=kuxxut=a2uxxa2=k/(cρ)扩散方程和输运方程扩散和输运方程具有共同的形式：对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热），则方程的形式变化为：源的强度稳定场方程概念产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为零。分类无外界作用情况拉普拉斯方程：Δu=uxx+uyy+uzz=0有外界作用情况泊松方程：Δu=uxx+uyy+uzz=f(x,y,z)典型应用静电场方程：Δu=-ρ/ε稳定温度分布：Δu=-F
6、/k小结波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：作业：P1523,4§7.2定解条件方程ut(t)=0能不能求解？解是什么？能不能定解？该怎么办？方程uxx(x)=0能不能求解？解是什么？能不能定解？该怎么办？由此可归纳出数学物理方程的通解含有任意常数，要完全确定这些常数需要附加条件。一、定解问题的提出二、初始条件意义反映系统的特定历史分类初始状态（位置），用u
7、t=0=φ(x,y,x)表示；初始变化（速度），用ut
8、t=0=ψ(x,y,z)表示。典型例子一维热传导未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件一端温度为a，均匀增加到另一端温度为bu
9、t=0=a+(b-a)
10、x/L初始条件一维弦振动未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件初始位移处于平衡位置：u
11、t=0=0两端固定，在c点拉开距离h：u
12、t=0=hx/c，013、t=0=h(L-x)/(L-c)，c14、t=0=0在c点受冲量I：ut
15、t=0=Iδ(x-c)/ρ三、边界条件意义反映特定环境对系统的影响分类按条件中未知函数及其导数的次数：线性边界条件和非线性边界条件；线性边界条件中按给出的是函数值或导数值：第一、二、三类边界条件；按所给数值是否为零：齐次边界条
