loewner空间中拟共形映照定义

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1、Loewner空间中拟共形映照的定义摘要近年来，拟共形映照理论拓广到了度量测度空间中，它包含了Loewner空间、Carnot群、Heisenberg群、紧致Riemann流形以及单纯复形。值得一提的是Loewner空间近似等价于Poincare不等式成立的空间，因此这是一类广泛而重要的空间。1995年，Heinonen以及Koskela证明了一个著名的结论。他们指出，在欧几里德空间中，线性伸张中的“limsup”可以由“liminf”来代替，参见文献[1]。这是在拟共形映照理论中的一个新的定义方式，而这

2、样一个新的定义方式可以使得许多实际情况中的证明过程变得容易。不仅如此，这个新的定义方式对复动力系统的重要性也是不言而喻，参见文献[2]，[3]，[4]。这个定义方式上的改进是在欧几里德空间下，借助Besicovitch覆盖定理得到的，但是Besicovitch覆盖定理已经被证明在Heisenberg群中是不成立的，参见文献[5]，[6]。随后，这种改进的定义方式是否能够在非欧几里德空间下同样成立成为了一个公开问题。本文将从对Loewner空间中拟共形映照的定义着手，拟对上述的公开问题在Q－正则Loewne

3、r空间中的情形，给出一个中间结果。这篇文章主要是在构造了一个均匀序列的基础上，首先在Q－正则Loewner空间中，给出了拟共性映照的定义；接着，‐ III ‐ 借助Heinonen以及Koskela在[7]中对Q－正则Loewner空间之间的所满足的拟对称性条件的证明，定义了在无界Q－正则Loewner空间中的拟对称性映照，最后，本文给出了拟对称性映照在Q－正则Loewner空间上的定义。证明过程中，我们遇到两方面困难。一方面是Besicovitch覆盖定理在非欧几里德空间内不成立，另一方面是弱假设下提供

4、的有界偏差值更少了。通过对覆盖引理中球的更为技巧性和复杂的选择方法，我们绕过了一般度量空间中不成立Besicovitch覆盖定理的困难。关键词：Loewner空间，拟共形映照，拟对称，Q－正则性‐ IV ‐ DEFINITIONOFQUASICONFORMALMAPPINGSINLOEWNERSPACEABSTRACTThesedays,thetheoryofquasiconformalmappingshasbeenextendedintometricspace.ItcontainsLoewnerspac

5、e,Carnotgroup,Heisenberggroup,andcompactRiemannmanifolds.WhatisworthytotalkaboutisthattheLoewnerspaceisapproximatelyequivalenttothespacewhichisholdforPoincareinequity.Thus,thisisakindofveryimportantspace.In1995,HeinonenandKoskelashowedthatintheEuclideanse

6、tting,the‘limsup’couldbereplacedby‘liminf’inthedefinitionofquasiconformalitysee[1].Itshouldcomeasnosurprisethattheresultingnewdefinitioniseasiertoverifyinpracticalsituationsandofimportanceincomplexdynamics[2],[3],[4].Thisimprovementwasobtainedbyinvokingth

7、epowerfulBesicovitchcoveringtheoremthatisinnatureEuclideanandalreadyfailsinHeisenberggroups[5],[6].Thequestionwhetherthisimprovementcouldalsoholdinnon‐Euclideansettingswasthenraised.Thishasremainedanopen‐ V ‐ problemuntilnow.Thispaperisbasedonthedefinitio

8、nofquasiconformalityinLoewnerspace;giveamidtermresultoftheopenquestionintheQ‐regularLoewnerspace.Basedonconstructingagoodscale,wewillfirstgivethedefinitionofquasiconformalityinQ‐regularspace.Thenwewillgivethedefinit