利用标量化函数讨论优化问题的像空间-分析

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1、重庆大学硕士学位论文1绪论1绪论1.1研究的目的及意义向量优化问题作为非线性分析的一个重要内容，它的研究不仅具有理论意义，而且更有实际应用价值。以前大部分学者都是站在优化问题的原空间的角度上考虑，而像空间分析方法是从优化问题的像空间这个角度来讨论。像空间分析方法可以应用到任何可以表示成一个参数系统的不可行性形式的优化问题中去。在像空间分析(ISA)中，优化问题的最优性条件可以表示一个参数系统的不可行性，或者可以等价表示为优化问题的像空间(IS)中的两个适当子集K和H的分离,其中K是由优化问题的目标函数与约束函数的像组成，H是各种

2、约束条件下的一个凸锥。所以，应用像空间分析方法研究优化问题时，关键只要找一个合理的分离函数。一旦在像空间中得到结论，那么在原问题空间中也有相应的结论。通过像空间分析方法中的几何解释，可以用简单的形式来描述研究对象的某些性质，并且可以得到一些归纳性的结论。这在直接对原问题进行分析时，是不大可能的。间隙函数是研究各种优化问题的一个重要工具。首先，间隙函数可以将各种优化问题转化为约束优化问题；其次，可以借助间隙函数来讨论平衡问题和变分不等式问题的误差界；最后，间隙函数在设计全局收敛算法、分析算法的收敛速度起到重要作用。误差界指的是可行

3、域内任意点到解集之间的距离的一个上估计。它刻画了一般的点与解集之间的距离，对于设计优化问题的算法奠定了理论基础。1.2国内外研究现状最优化理论最早起源于18世纪Euler、Lagrange等学者对与力学相关的极值问题或者变分问题统一处理方法的研究。后来现代最优化理论在工业革命、信息革命的不断深化、计算机飞速发展的时代背景下作为解决现实问题的强有力工具得到普及之后得到了极大发展。直到Kuhn与Tucker发表了关于非线性规划问题的最优性条件的研究为代表的众多成果，最优化理论的基础才得以奠定。目前各种各样最优化问题的模型已经得到了深

4、入的研究，在大部分实际应用中，最优化问题的模型绝大部分是非线性规划问题，像在管理、经济、国防、工程等众多领域。目前解非线性规划问题的方法有罚函数法、最速下降法、可行方向法、共轭梯度法、牛顿法等等。上面都是在讨论只有一个评价指标的标量优化问题。但是在许多领域诸如国防管理、工程技术、生产生活、经济管理等部门，所要解决的问题往往需要同时1重庆大学硕士学位论文1绪论考虑两个或多个评价指标，譬如在经济生产过程中的环境保护与经济增长问题、最低成本和最大利润问题等。这种含有多个目标的最优化问题就被称之为多目标优化问题或者向量优化问题。多目标(

5、向量)优化问题最早起源于1776年Simth关于经济均衡和1874年Edgeworth对均衡竞争的研究，特别是经济学家Pareto从经济学[43]的研究的角度中提出了向量优化问题。在二十世纪50年代现代多目标(向量)优化学科正式形成，尤其是Kuhn和Tucker关于向量极值的研究为这一学科的建立奠定[8]了重要的基础。从上世纪70年代后期，我国便开始了关于多目标(向量)优化的研[1-7]究。更多关于多目标(向量)优化问题的发展概况和研究方向可进一步参看相关[9-13]专著和综述报告等。向量优化问题的研究范畴主要包括向量优化问题、

6、集值优化问题、向量变分不等式问题、向量均衡问题、向量互补问题、向量变分原理、向量交通网络均衡问题、向量极大极小不等式问题等等。向量优化问题之所以得到国内外学者的广泛关注和研究是因为向量优化问题模型不仅在现实世界中广泛存在，譬如数理经济、网络经济、决策和对策理论等许多数学模型都会涉及到向量优化问题，而且向量优化问题与非线性分析、集值分析以及变分分析中的许多问题也存在着紧密关系。这些都极大地拓广了向量优化问题理论研究和应用的范畴。关于标量优化和向量优化的理论和方法研究十分广泛，本文仅就约束向量优化问题的像空间分析、弱向量平衡问题的间

7、隙函数和误差界、拟变分不等式问题的最优性条件等几个方面的内容进行阐述。目前，像空间分析方法是研究任何能够表述成含参系统不可行形式的优化问题的一种统一的方法。像空间分析(ISA)最早是是Giannessi为了从几何的角度研究约束极值优化问题而提出的。后来，许多学者将像空间分析方法应用到其他问题的研究中去。其中，Chinaie用该方法研究了多值函数和最优解的多值函数的标量[14][15]化问题；Mastroeni则用该方法研究了约束优化的对偶问题、向量拟平衡问题[16][17][18]的鞍点和间隙函数、锥序下的向量拟平衡问题和向量优

8、化问题的锥分离。像空间分析方法中的一个最重要的工具是分离函数，文献[19]利用目标和约束函数在一定的凸性条件下通过线性弱分离函数得到约束优化问题最优解的充要条件，而Rubinov在文献[20]中只应用了分离函数的一些性质加上一些假设条件就得到了约束优化问题的最优