中点模型的构造、等积模型

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1、可编辑版几何综合题型一：中点模型的构造中点模型①中线（点）：倍长（类）中线②两中点：中位线③等腰三角形底边中点：三线合一④直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半构造两等腰⑤中垂线：中垂线上的点连两端点有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线．典题精练【例1】如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，若∠EMD=3∠MEA．求证：BC=2AB．【解析】证法一：如右图（a），延长EM交CD的长线于点，连结CM∵AB∥CD，∴∠ME'D

2、=∠MEA．又AM=DM，∠AME=∠DME'∴△AFM≌△．∴EM=∵AB∥CD，CE⊥AB，∴EC⊥CD．∴CM是Rt△斜边的中线，∴=MC．∴，∴∠EMC=2=2∠AEM．∵∠EMD=3∠MEA，∴∠CMD=∠DCM，Word完美格式可编辑版∴MD=CD．∵AD=2DM，AB=CD，AD=BC，∴BC=2AB．证法二：如右图(b)，过点M作交BC于，过点作交AB的延长线于点，连接．∴点是的中点，，，，∵点是Rt△EBC斜边BC的中点，∴，∴．∴．∵∠EMD=3∠MEA，∴，∴∴，．∴．∴,∴．∴BC=

3、2AB．【例1】如图所示，分别以△ABC的边AB、AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，点M为BC中点，⑴求证：AM⊥EG；⑵求证：EG=2AM．【解析】⑴如图所示，延长AM到N，使MN=AM,延长MA交EG于点P，连接BN、NC．∵BM=CM，∴四边形ABNC是平行四边形．∴BN=AC=AG．∵∠EAG+∠BAC=，∠ABN+∠BAC=，∴∠EAG=∠ABN．∵AE=AB，∴△EAG≌△ABN．∴∠AEG=∠BAN．又∵∠EAB=，∴∠EAP+∠BAN=．∴∠AEP+∠EAP=．∴MA

4、⊥EG．⑵证明：∵△EAG≌△ABN，∴EG=AN=2AM．Word完美格式可编辑版题型二：平移及等积变换典题精练【例1】已知：如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，FG⊥DE于点H．⑴求证：FG=DE．⑵求证：FD+BG≥．【解析】延长GC到点P，使得GP=DF，连接EP，DP．⑴∵DF∥GP，GP=DF∴四边形DFGP为平行四边形∴FG=DP，FG∥DP又∵FG⊥DE，∴DP⊥DE∴∠ADE=∠CDP在△ADE和△CDP中∴△ADE≌△CDP∴DE=DP=FG⑵由⑴知道△DEP为等腰直角三角形∴在△E

5、GP中，EG+DF=EG+GP≥PE=FG当EG∥FD时，取到等号【例2】如下图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若△PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当于求平行四边形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差．如右图，连接CP、AP．可得：Word完美格式可编辑版所以而，，所以(平方分米)．题型三：旋转典题精练【例1】已知△ABC和△ADE都

6、是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.⑴如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为．⑵如图②，点D不在AB上，⑴中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．【解析】⑴BD=⑵结论成立，证明：连接DM，过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，可证得△MDE≌△MFC,∴DM=FM，DE=FC，∴AD=ED=FC，作AN⊥EC于点N，由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，可证得∠1=∠2，∠3=∠4

7、，∵CF∥ED，∴∠1=∠FCM，∴∠BCF=∠4+∠FCM=∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD.∴△BCF≌△BAD,∴BF=BD，∠5=∠6，∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°，∴△DBF是等腰三角形，∵点M是DF的中点，Word完美格式可编辑版则△BMD是等腰三角形，∴BD=【例1】已知正方形，在边上取一点，作交的外角平分线于，求证：．【解析】法一：如图，连接，过作，交于．∵，，∴．又∵为等腰直角三角形，∴．又，，∴，∴，故．法二：如图，过作，交的延长线于，连接，则，∴，∴．而

8、，∴．又，，∴，有，∴．法三：在AB上截取BN=BE，证明即可；思维拓展训练(选讲)训练1.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC与BD交于点O，∠Word完美格式可编辑版AOB=，P、Q、R分别是OA、OB、OC的中点，求证：△PQR是正三角形．【解析】证明：如右图，连接BP、CR．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，OA=OB，OC=OD．∵∠AOB=60°，∴△AOB、△COD都是