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《初中数学中点模型的构造与应用》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、WORD文档下载可编辑中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型:Ø任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段Ø出现两个或三个中点考虑三角形中线定理Ø已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线Ø已知等边、等腰三角形底边中点,可以考虑与顶角连接用“三线合一”Ø有些题目不直接给出中点,我们可以挖掘其中隐含中点,比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型Ø三角形中线的交点称为重心,它把中线分的线段比为2:1二、中点模型辅助线构造方法分类(一)倍长中线法(构造全等三角形,八字
2、全等)当已知条件中出现中线时,常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。如图,在ABC中,D为BC中点,延长AD到E使AD=DE,连接BE,则有:ADC≌EDB。作用:转移线段和角。(二)倍长类中线法(与中点有关线段,构造全等三角形,八字全等)当已知条件中出现类中线时,常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。如图,在ABC中,D为BC中点,延长ED到F使ED=DF,连接CF,则有:BED≌CFD。作用:转移线段和角。专业技术资料精心整理分享WORD文档下载可编辑(三)直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时,常构造直角三
3、角形斜边中线,然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。如下图,在RtABC中,,D为AB中点,则有:(四)等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时,常隐含有底边中点,将其与顶角连接,可构成三线合一。在ABCD中:(1)AC=BC=;(2)CD平分Ð;(3)AD=BD=,(4)“知二得二”:比如由(2)(3)可得出(1)(4).也就是说,以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出剩下两条。(五)中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时,常考虑构造中位线;或出现一个中点,要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。如图,在AB
4、C中,D,E分别是AB、AC边中点,则有,。三、练习(一)倍长中线法1.(2014秋•津南区校级期中)已知:在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF.专业技术资料精心整理分享WORD文档下载可编辑2.(2017•湘潭)如图,在▱ABCD中,DE=CE,连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证:△ADE≌△FCE;(2)若AB=2BC,∠F=36°.求∠B的度数3.(2017江西萍乡,15)如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,E是CD的中点,过点C作AB的平行线交AE
5、的延长线于点F,连接BF.(1)求证:CF=AD;(2)若CA=CB,试判断四边形CDBF的形状,并说明理由.4.(2014•鄂尔多斯)如图1,在▱ABCD中,点E是BC边的中点,连接AE并延长,交DC的延长线于点F.且∠AEC=2∠ABE.连接BF、AC.(1)求证:四边形ABFC的是矩形;(2)在图1中,若点M是BF上一点,沿AM折叠△ABM,使点B恰好落在线段DF上的点B′处(如图2),AB=13,AC=12,求MF的长.专业技术资料精心整理分享WORD文档下载可编辑5.(2017•贵阳,24)(1)阅读理解:如图①,在四边形ABC
6、D中,AB∥DC,E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系.解决此问题可以用如下方法:延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC,得到AB=FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断.AB、AD、DC之间的等量关系为____________;(2)问题探究:如图②,在四边形ABCD中,AB∥DC,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.(3)问题解决:如图③,AB∥CF,AE与BC交于点E,BE:
7、EC=2:3,点D在线段AE上,且∠EDF=∠BAE,试判断AB、DF、CF之间的数量关系,并证明你的结论.(二)倍长类中线法1.(2016秋•江都区期中)已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE.求证:AB=CD.专业技术资料精心整理分享WORD文档下载可编辑2.(2017•重庆,24)在△ABM中,∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足为M,点C是BM延长线上一点,连接AC.(1)如图1,若,BC=5,求AC的长;(2)如图2,点D是线段AM上一点,MD=MC,点E是△ABC外一点,EC=AC,连接ED并延长交BC于
8、点F,且点F是线段BC的中点,求证:∠BDF=∠CEF.3.(2017•山西,17)已知:如图,在▱ABCD中,延长AB至点E,延长CD至点F,使得BE=DF.连接EF,与对角线AC交于点O.
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