中考之圆综合题型

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1、6．（2017武汉元调）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝∠BOC．（1）求证：∠ACB＝2∠BAC；（2）若AC平分∠OAB，求∠AOC的度数．解：（1）证明：在⊙O中，∵∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，∵∠AOB＝2∠BOC．∴∠ACB＝2∠BAC．（2）解：设∠BAC＝x°．∵AC平分∠OAB，∴∠OAB＝2∠BAC＝2x°，∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝2∠BAC，∴∠AOB＝2∠ACB＝4∠BAC＝4x°，在△OAB中，∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°，∴4x＋2x＋2x＝180，解得：x＝22．5，∴∠AOC＝6x°＝135°．7．（2017武

2、汉元调）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E．（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．解：（1）证明：过点D作DF⊥BC于点F，∵∠BAD＝90°，BD平分∠ABC，∴AD＝DF．∵AD是⊙D的半径，DF⊥BC，∴BC是⊙D的切线；（2）解：∵∠BAC＝90°．∴AB与⊙D相切，∵BC是⊙D的切线，∴AB＝FB．∵AB＝5，BC＝13，∴CF＝8，AC＝12．在Rt△DFC中，设DF＝DE＝r，则r2＋64＝（12－r）2，解得：r＝．∴CE＝．13．（2016武汉元调）如图，AB为⊙O的直径

3、，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）连接CE，若CE＝6，AC＝8，直接写出⊙O直径的长．解：（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）解：∵∠CAD＝∠CAO，∴，∴CE＝BC＝6，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝，即⊙O直径的长是10．【案例1】圆中的线段【真题呈现】如图，在⊙O中，弦AB、AC互相垂直，D、E分别为AB、AC的中点，则四边形OE

4、AD为（C）A．正方形B．菱形C．矩形D．直角梯形【真题解读】因为D、E分别为AB、AC的中点，根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，得OE⊥AC，OD⊥AB．∵AB⊥AC，∴OEAD为矩形，故填C．【真题变式】1．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于E，且AB⊥CD，AE＝2，BE＝6，CE＝4，则⊙O的半径R＝．解：过O作OG⊥CD于G，OF⊥AB于F，设DE＝2x，CG＝＝2＋x，GE＝2＋x－2x＝2－x，AF＝FB＝×(2＋6)＝4，∴EF＝AF－AE＝4－2＝2，∴22＋(2＋x)2＝OC2＝OB2＝(2－x)2＋42，解得x＝1．5，∴R＝．2．如图，⊙O的半径R＝6，点A、B、

5、C在⊙O上，∠A＝60°，求AB2＋AC2－ABAC的值．解：延长CO交⊙O于D，连DB、CB，过C作CE⊥AB于E，∵＝，∴∠D＝∠A＝60°，∵CD为直径，∴∠CBD＝90°，∴BC＝CD＝×6×2＝6，易得AE＝，CE＝AC，∵CE⊥AB，∴CE2＋BE2＝BC2，即＋＝，∴AB2＋AC2－ABAC＝108．3．如图，⊙O的半径R＝6，点A、B、C在⊙O上，∠A＝60°，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．连DE，求DE的长．CEODABCEODABF解：连OC、OB、BC，过O作OF⊥BC于F，∵∠A＝60°．∴∠COB＝2×60°＝120°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝30°．∵R＝6，

6、∴OF＝3，CF＝3．∴BC＝2CF＝6．∵OE⊥AC，OD⊥AB．∴D、E分别为AB、AC的中点．∴DE＝BC＝3．4．如图，⊙O的半径R＝6，点A、B、C在⊙O上运动，保持∠A＝60°，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，连DE，求四边形OEAD面积的最大值．CEODABCEODAB解：连OA、OC、OB、BC，易知DE＝BC＝×6＝3．AO、DE的长度不变，当AO⊥DE时面积最大，∴S四边形OEAD＝OA×DE＝×6×3＝9．5．如图，⊙O的半径R＝6，点A、B、C在⊙O上运动，保持∠BAC＝60°，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，连DE，则下列结论中，错误的是(B)CEODABCEODA

7、BA．弦BC的长为定值B．四边形OEAD的面积为定值C．线段DE的长为定值D．四边形OEAD的面积有最大值案例2切线中常见基本图形[真题呈现]如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接AC．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若CE＝6，AC＝8，直接写出⊙O直径的长．CAEDOB[真题解读]（1）遇切线连接切点和圆心，故连CO，则CO⊥CD．∵CO＝A