北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末考试数学(理工类)

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1、北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末考试数学(理工类)一、选择题(共8小题;共40分)1.设i为虚数单位,则复数z=1+ii在复平面内对应的点所在的象限是______A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,若AB中点M到抛物线准线的距离为6,则线段AB的长为______A.6B.9C.12D.无法确定3.设函数fx=sin2x−π3的图象为C,下面结论中正确的是______A.函数fx的最小正周期是2πB.图象C关于点π6,0对称C.图象C可由函数gx=sin2

2、x的图象向右平移π3个单位得到D.函数fx在区间−π12,π2上是增函数4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的全面积是______A.4+26B.8C.4+23D.435.α,β表示不重合的两个平面,m,l表示不重合的两条直线,若α∩β=m,l⊄α,l⊄β,则"l∥m"是"l∥α且l∥β"的______A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在△ABC中,B=π4,则sinA⋅sinC的最大值是______A.1+24B.34C.22D.2+247.点O在△ABC的内部,且满足OA+2OB+4OC=0,则

3、△ABC的面积与△AOC的面积之比是______第9页(共9页)A.72B.3C.52D.28.设连续正整数的集合I=1,2,3,⋯,238,若T是I的子集且满足条件:当x∈T时,7x∉T,则集合T中元素的个数最多是______A.204B.207C.208D.209二、填空题(共6小题;共30分)9.角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P1,2,则sinπ−α的值是______.10.双曲线C:x2−y2=λλ>0的离心率是______;渐近线方程是______.11.设不等式组x+2y−4≤0,x≥0,y≥0表示的平面区域

4、为D,在区域D内随机取一点P,则点P落在圆x2+y2=1内的概率为______.12.有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时,1点响1声,2点响2声,3点响3声,⋯,12点响12声(12时制),且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒,在一次大钟报时时,某人从第一声响铃开始计时,如果此次是12点的报时,则此人至少需等待______秒才能确定时间;如果此次是11点的报时,则此人至少需等待______秒才能确定时间.13.在锐角AOB的边OA上有异于顶点O的6个点,边OB上有异于顶点O的4个点,加上点O,以这11个点为顶点共可以组成______个三

5、角形(用数字作答).14.已知函数fx=sinπxπx+π1−xx∈R.下列命题:①函数fx既有最大值又有最小值;②函数fx的图象是轴对称图形;③函数fx在区间−π,π上共有7个零点;④函数fx在区间0,1上单调递增.其中真命题是______.(填写出所有真命题的序号)三、解答题(共6小题;共78分)15.退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了了解某城市市民的年龄构成.从该城市市民中随机抽取年龄段在20∼80岁(含20岁和80岁)之间的600人进行调查,并按年龄层次20,30,30,40,40,50,50,60,60

6、,70,70,80绘制频率分布直方图,如图所示.规定年龄在20,40的人为"青年人",40,60的人为"中年人",60,80的人为"老年人".(1)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的600人的平均年龄;第9页(共9页)(2)将上述人口分布的频率视为该城市在20∼80年龄段人口分布的概率.从该城市20∼80年龄段市民中随机抽取3人,记抽到"老年人"的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.16.如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAB⊥底面ABCD,PA=AB,点E是PB的中点,点F在边BC上移动.(1)

7、若F为BC中点,求证:EF∥平面PAC;(2)求证:AE⊥PF;(3)若PB=2AB,二面角E−AF−B的余弦值等于1111,试判断点F在边BC上的位置,并说明理由.17.若有穷数列a1,a2,a3,⋯,am(m为正整数)满足条件:ai=am−i+1i=1,2,3,⋯,m,则称其为“对称数列”.例如,1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”.(1)若bn是25项的“对称数列”,且b13,b14,b15,⋯,b25是首项为1,公比为2的等比数列.求bn的所有项和S;(2)若cn是50项的“对称数列”,且c26,c27,c28,⋯,c

8、50是首项为1,公差为2的等差数列.求cn的前n项和Sn(1≤n≤50,n∈N*).18.设函数fx=eaxx2+1,a∈

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