2017年江苏省南通市如皋市高三一模数学试卷

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1、2017年江苏省南通市如皋市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1.设全集U=xx≥3,x∈N，集合A=xx2≥10,x∈N，则∁UA= ．2.复数z=2+i1−i（i为虚数单位）的共轭复数是 ．3.抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为 ．4.如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为 ．5.已知等差数列an的前11项的和为55，a10=9，则a14= ．6.若点x,y位于曲线y=∣2x−1∣与y=

2、3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x−y的最小值为 ．7.已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1−ABM的体积为 ．8.已知圆C过点2,3，且与直线x−3y+3=0相切于点0,3，则圆C的方程为 ．9.已知F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，G是△ABF1的重心，且GA⋅F1B=0，则双曲线的离心率为 ．10.已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D

3、，则AB⋅CD= ．11.已知函数fx=2x+1,x>00,x=02x−1,x<0，则不等式fx2−2+fx<0的解集为 ．第11页（共11页）12.将函数fx=2cos2x的图象向右平移φ0<φ<π2个单位后得到函数gx的图象，若对满足∣fx1−gx2∣=4的x1，x2，有∣x1−x2∣min=π6，则φ= ．13.已知函数fx=x−1ex−ax2，若y=fcosx在x∈0,π上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为 ．14.设实数x，y满足4x2−23xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围

4、是 ．二、解答题（共10小题；共130分）15.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．16.在△ABC中，已知cosC+cosA−3sinAcosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sinA−π3=35，求sin2C．17.如图，矩形公园OABC中，OA=2 km，OC=1 km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1 km的14圆面的人工湖，现

5、计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E，F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．18.如图，已知F为椭圆x24+y23=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A，B及C，D．第11页（共11页）（1）求证：1AB+1CD为定值；（2）若直线CD交直线l:x=−32于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．19.已知函数fx=lnx，gx=ax−1x+1a∈R．（1）若a=2，

6、求证：fx>gx在1,+∞恒成立；（2）讨论hx=fx−gx的单调性；（3）求证：当x>0时，fx+1>x2ex−1．20.已知数列an的通项公式为an=2n−−1n，n∈N*．（1）在数列an中，是否存在连续3项成等差数列?若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列an中，一定存在满足条件1

7、，b是实数，矩阵M=a−1212b所对应的变换T将点2,2变成了点Pʹ3−1,3+1．（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．22.已知曲线C1的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=π4对称，求曲线C2的极坐标方程．23.甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中

8、舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．24.已知集合A=a1,a2,⋯ann∈N*，规定：若集合A1∪A2∪⋯∪Am=Am≥2,m∈N*，则称A1,A2,⋯,Am为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，⋯，Am=Bm时，A1,A2,⋯,Am与B1,B2,⋯,Bm为同一分拆，所有不同的分拆种数记为fnm．例如：当n=1，m=2时，集合A=a1的所有分拆为：a