2016学年度南开中学高二下学期期中考试

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1、2016学年度南开中学高二下学期期中考试一、选择题（共10小题；共50分）1.函数fx=1−x3的导数是  A.31−x2B.−31−x2C.1−x44D.−1−x442.∫03x2−4dx=  A.233B.253C.22D.73.已知直线y=x+1与曲线y=lnx+a相切，则a的值是  A.1B.2C.−2D.−14.函数fx=5x−3lnx−x2的单调增区间是  A.0,1B.1,32C.32,+∞D.0,1和32,+∞5.设fʹx是函数fx的导函数，将y=fx和y=fʹx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是  A.B.C.D.6

2、.若fx=−12x2+blnx+2在−1,+∞上是减函数，则b的取值范围是  A.−1,+∞B.−1,+∞C.∞,−1D.∞,−17.函数y=3x2−6x和直线x=0，x=4，x轴围成的封闭图形的面积是  A.20B.16C.24D.48.已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD=2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若ABCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM=  第4页（共4页）A.1B.2C.3D.49.函数fx=xx−a3在x=−

3、3处取到极小值，则a=  A.−3或−12B.−3C.−12D.−910.设奇函数fx的定义域为R，导函数为fʹx，f−2=0，当x>0时，xfʹx−fx<0，则使fx>0成立的x的取值范围是  A.−2,0∪2,+∞B.−∞,−2∪0,2C.−∞,−2∪−2,0D.0,2∪2,+∞二、填空题（共6小题；共30分）11.设i为虚数单位，若z+i=1+i2−i，则z= ．12.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，当第二步假设n=2k−1k∈N*命题为真时，进而证明n= ，命题亦真．13.设函数fx=2x3−3x2−12x

4、+5在−2,1上的最大，最小值分别是M，n，则M−m= ．14.若函数fx=x22+3lnx+152的图象与gx=4x+a的图象有三个交点，则a的取值范围是 ．15.观察下列不等式：1+122<32，1+122+132<53，1+122+132+142<74，照此规律，第五个不等式为 ．16.某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率与日产量的函数关系是：P=3x4x+32x∈N+，为获最大日盈利，该厂的日产量应定为 件．三、解答题（共3小题；共39分）17.

5、已知△ABC的三个内角A，B，C，A，B，C，的对边分别为a，b，c．若1a+b+1b+c=3a+b+c，求证：A，B，C成等差数列．18.已知fx=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P，且fx在P处的切线方程为9x−y−1=0，又知fx单调性为−∞,1单调递增，1,3单调递减，3,+∞单调递增．Ⅰ求fx解析式；Ⅱ当x>0时，证明：fx>x3−6x2−1+9lnx+119.已知函数地fx=lnaxx+1−lnax+lnx+1，a≠0,a∈R．Ⅰ求函数fx的定义域；Ⅱ求函数fx的单调区间；Ⅲ当a>0时，若存在x使得fx≥ln2a成立，求

6、a的取值范围．第4页（共4页）答案第一部分1.B2.A3.B【解析】设切点为x0,x0+1，则1x0+a=1,lnx0+a=x0+1,解得x0=−1,a=2.4.B5.D6.D7.C8.C9.C10.B第二部分11.15−25i12.2k+1k∈N*13.2014.3ln3,4【解析】提示：设Fx=x22+3lnx+152−4x−a，求导得x=1是函数Fx的极大值，x=3是极小值，满足函数fx与函数gx有三个交点，则有F1>0,F3<0,解得a∈3ln3,4.15.1+122+132+142+152+162<116．16.16第三部分17.因为

7、1a+b+1b+c=3a+b+c，所以a+2b+ca+bb+c=3a+b+c，即a+2b+ca+b+c−3ab+b2+ac+bc，化简得a2+c2−b2=ac，由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac=12，又0

8、根，所以3a+2b+9=0,27a+6b+9=0.解得a=1,b=−6.，故fx=x3−6x2+9x−1      （2）设gx=lnx+1−x，则g